홍라이프 계산기닮은 삼각형 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 알고 있는 삼각형과 닮은 삼각형의 빠진 변을 닮음비로 구합니다. 추가로 입력한 변이 맞는지 확인하고, 두 넓이, 넓이의 비, 각도 보여 줍니다. 기하 과제, 그림자와 높이 문제, 지도·모형 축척, 간접 측정에 씁니다.
계산 방법
- 닮음비 k = (B의 변) ÷ (A의 대응변)이며, B에서 처음 알려진 변으로 정합니다.
- B의 빠진 변 = k × A의 대응변이고, B의 다른 알려진 변은 k와 맞는지 확인합니다.
- 둘레는 k배, 넓이는 k²배입니다(넓이는 헤론 공식).
- 두 삼각형에서 같은 각은 코사인 법칙으로 구합니다.
직각삼각형 모드에서는 c가 빗변이고 A의 한 변을 0으로 둘 수 있으며, a² + b² = c²로 구합니다.
원리
대응하는 각이 모두 같으면 두 삼각형은 닮음입니다. 이때 한 삼각형은 다른 삼각형을 확대하거나 축소한 것이므로 모든 길이에 같은 배율 k가 곱해지고 각은 바뀌지 않습니다. 넓이는 길이 × 길이이므로 k × k = k²배가 됩니다. 닮음은 측량과 지도 제작에서도 쓰이는 간접 측정의 바탕입니다. 짧은 막대와 큰 나무의 그림자가 같은 비율인 것은 햇빛이 같은 각으로 비추기 때문입니다.
예제 풀이
기본값은 삼각형 A의 변 3, 4, 5와 삼각형 B의 c = 12.5입니다.
- k = 12.5 ÷ 5 = 2.5
- B의 변 a = 2.5 × 3 = 7.5, 변 b = 2.5 × 4 = 10
- A의 넓이(직각삼각형) = 3 × 4 ÷ 2 = 6
- 넓이의 비 k² = 6.25이므로 B의 넓이 = 6 × 6.25 = 37.5
- 두 삼각형의 각: 36.87°, 53.13°, 90°로 같습니다. B의 둘레도 12 × 2.5 = 30으로 A의 둘레의 k배입니다.
| 삼각형 B: 변 c (0 = 모름) | 닮음비 k (B ÷ A) |
|---|---|
| 3.12 | 0.625 |
| 6.25 | 1.25 |
| 9.38 | 1.875 |
| 12.5 | 2.5 |
| 15.6 | 3.125 |
| 18.8 | 3.75 |
| 25 | 5 |
결과 해석
k가 1보다 크면 B가 A보다 크고, 작으면 B가 더 작습니다. 입력한 B의 변이 k와 맞지 않으면 그 변 순서로는 닮음이 아니거나 측정값 하나가 틀린 것입니다. 넓이는 변보다 훨씬 빨리 커진다는 점을 기억하십시오. 모든 변을 두 배로 하면 넓이는 네 배가 됩니다. 부피가 있는 입체라면 닮음비의 세제곱으로 커지므로, 모형과 실물의 무게를 비교할 때도 같은 원리를 씁니다.
흔한 실수
- 대응변을 잘못 짝짓는 경우(대응변은 같은 각의 맞은편에 있습니다)
- 넓이를 k²이 아니라 k배로 계산하는 경우
- 각이나 변의 비를 확인하지 않고 겉모습만으로 닮음이라고 보는 경우
- 두 삼각형의 단위를 섞는 경우
자주 묻는 질문
두 삼각형이 닮았는지 어떻게 아나요?
두 각이 같거나(AA 닮음), 세 변의 비가 같거나(SSS 닮음), 두 변의 비와 그 끼인각이 같으면(SAS 닮음) 닮음입니다.
닮음으로 나무의 높이를 어떻게 구하나요?
같은 시각에 높이를 아는 물체의 그림자와 비교합니다. 나무 높이 = 물체 높이 × 나무 그림자 ÷ 물체 그림자입니다.
넓이는 왜 k²배가 되나요?
넓이는 두 길이로 정해지고, 각 길이가 k배가 되기 때문입니다.
출처: OpenStax, Prealgebra 2e (2020), §9.4 (properties of similar triangles)