기울기 계산기 (두 점으로 기울기·각도·직선의 방정식)

기울기 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 두 점을 지나는 직선의 기울기, 직선의 방정식, 경사각, 백분율 경사(구배), y절편, 수직인 직선의 기울기, 두 점 사이의 거리를 구합니다. 대수와 좌표기하, 경사로·지붕·도로, 자료에서 변화율을 읽을 때 씁니다.

계산 방법

• 기울기 m = 세로 변화 ÷ 가로 변화 = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
• 방정식: y = m·x + b, b = y₁ − m·x₁
• 경사각 = arctan(m), x축 양의 방향에서 잰 각(0~180°)
• 백분율 경사(%) = m × 100
• 수직인 직선의 기울기 = −1 ÷ m
• 거리 = √(Δx² + Δy²)

세로선(x₁ = x₂)은 기울기가 정의되지 않고, 가로선의 기울기는 0입니다.

원리

직선은 오른쪽으로 한 단위 움직일 때마다 같은 만큼 올라가며, 그 일정한 비율이 기울기입니다. 직선 위 어느 두 점을 골라도 세로·가로 변화로 만든 삼각형이 닮음이므로 비율이 같습니다. 기울기는 직선이 x축과 이루는 각의 탄젠트입니다. 방향을 90° 돌리면 가로와 세로 변화가 바뀌고 부호 하나가 바뀌므로, 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다.

예제 풀이

기본값은 (1, 2)와 (5, 10)입니다.

1. 세로 변화 Δy = 10 − 2 = 8, 가로 변화 Δx = 5 − 1 = 4
2. 기울기 m = 8 ÷ 4 = 2
3. b = 2 − 2 × 1 = 0이므로 방정식은 y = 2x입니다.
4. 경사각 = arctan 2 ≈ 63.43494882°, 백분율 경사 = 200%
5. 수직인 기울기 = −0.5, 거리 = √(4² + 8²) = √80 ≈ 8.94427191

결과 해석

기울기가 양수면 왼쪽에서 오른쪽으로 올라가고, 음수면 내려갑니다. 크기는 가파른 정도로, 기울기 1은 45°, 2는 약 63°입니다. 도로와 경사로는 보통 백분율로 나타내는데 200%는 매우 가파르고, 도로 경사는 대개 몇 퍼센트 수준입니다. 자료에서는 기울기가 x 한 단위당 y의 변화량이며, 시간당 km처럼 단위를 가집니다. 그래프에서 기울기를 읽을 때는 축의 눈금 간격이 서로 다를 수 있으니 눈대중보다 좌표로 계산하는 것이 정확합니다. 두 점의 순서를 바꿔 넣어도 분자와 분모의 부호가 함께 바뀌므로 기울기는 같습니다.

흔한 실수

• 분자와 분모의 빼는 순서를 다르게 하는 경우
• 백분율 경사와 각도를 혼동하는 경우(100% 경사는 90°가 아니라 45°입니다)
• 세로선에서 0으로 나누고 '정의되지 않음'이라고 하지 않는 경우
• 점의 x와 y 좌표를 바꿔 넣는 경우

자주 묻는 질문

기울기를 각도로 바꾸려면 어떻게 하나요?

아크탄젠트를 구합니다. 각 = arctan(m)이며 기울기 1은 45°입니다.

가로선의 기울기는 얼마인가요?

세로 변화가 0이므로 0입니다.

기울기 −0.5는 무슨 뜻인가요?

오른쪽으로 1만큼 갈 때마다 0.5만큼 내려간다는 뜻입니다.

출처: OpenStax, College Algebra 2e, §4.1 Linear Functions