홍라이프 계산기구 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
구는 공간에서 한 점(중심)으로부터 같은 거리 r에 있는 점들의 모임으로, 공이나 비눗방울, 그리고 거의 행성의 모양입니다. 반지름을 넣으면 부피(차지하는 공간의 크기)와 겉넓이(표면 전체의 넓이)를 구합니다. 탱크나 풍선의 크기를 정할 때, 돔이나 공에 드는 재료를 어림할 때, 물방울과 입자의 크기를 비교하거나 밀도로 질량을 구할 때 쓰입니다.
계산 방법
- 부피: V = (4/3)πr³
- 겉넓이: S = 4πr²
r은 반지름으로 지름의 절반입니다. 부피는 단위의 세제곱(cm³, m³), 겉넓이는 단위의 제곱으로 나옵니다. 반지름을 두 배로 늘리면 겉넓이는 네 배, 부피는 여덟 배가 됩니다. 1,000 cm³ = 1 L라는 환산도 기억해 두면 좋습니다.
원리
아르키메데스는 구가 반지름 r, 높이 2r인 원기둥에 꼭 맞게 들어갈 때 구의 부피는 원기둥 부피의 정확히 3분의 2, 즉 (2/3) × πr² × 2r = (4/3)πr³이고, 구의 겉넓이는 원기둥의 옆넓이 2πr × 2r = 4πr²와 같다는 사실을 밝혔습니다. 두 공식은 서로 연결되어 있습니다. 구를 꼭짓점이 중심에 모이고 밑면이 겉면을 덮는 아주 가는 뿔들의 모임으로 보면, 각 뿔의 부피는 ⅓ × 밑넓이 × r이므로 V = ⅓ × S × r입니다. 또 두께 dr인 얇은 껍질을 더하면 부피가 S·dr만큼 늘어나므로, 겉넓이는 부피를 r에 대해 미분한 값과 같습니다.
예제 풀이
- 입력값은 r = 3입니다.
- 부피는 (4/3) × π × 27 = 36π ≈ 113.0973355입니다.
- 겉넓이는 4 × π × 9 = 36π ≈ 113.0973355입니다.
- 두 값이 같은 것은 V ÷ S = r ÷ 3이 r = 3일 때 1이 되기 때문일 뿐이며, 단위가 cm라면 113.1 cm³와 113.1 cm²로 서로 다른 양입니다.
| 반지름 | 부피 |
|---|---|
| 0.75 | 1.767145868 |
| 1.5 | 14.13716694 |
| 2.25 | 47.71293843 |
| 3 | 113.0973355 |
| 3.75 | 220.8932335 |
| 4.5 | 381.7035074 |
| 6 | 904.7786842 |
결과 해석
부피가 같은 도형 중에서 구의 겉넓이가 가장 작습니다. 그래서 비눗방울과 물방울은 둥글고, 몸집이 작은 동물일수록 열을 빨리 잃습니다. 겉넓이와 부피의 비는 3/r이므로 구가 커질수록 작아집니다. 참고로 지구의 평균 반지름은 약 6,371 km입니다.
흔한 실수
- 반지름 대신 지름을 넣어 부피가 여덟 배가 되는 경우입니다.
- 부피를 4πr³이나 πr³로 쓰는 경우입니다. 계수는 4/3입니다.
- 세제곱 단위와 제곱 단위를 혼동하거나, 1 m³ = 1,000 L임을 잊는 경우입니다.
자주 묻는 질문
부피로 반지름을 구하려면요?
r = ∛(3V ÷ 4π)입니다. 부피가 1,000 cm³(1 L)이면 r ≈ 6.20 cm입니다.
반구의 부피는요?
구의 절반인 (2/3)πr³입니다. 곡면 넓이는 2πr²이고 평평한 밑면 πr²가 더해집니다.
속이 빈 구의 부피는요?
바깥 구에서 안쪽 구를 빼서 (4/3)π(R³ − r³)로 구합니다.
출처: Archimedes, On the Sphere and Cylinder, Book I · T. M. Apostol, Calculus, Vol. 1, Wiley (volumes of solids of revolution)