구면 캡·반구 계산기

구면 캡·반구 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

구면 캡(구의 일부, 구관)은 공 모양을 평면으로 잘라 낸 한쪽 부분으로, 돔의 윗부분이나 둥근 플라스크 바닥에 고인 액체가 그 예입니다. 구의 반지름 r과, 자른 면에서 꼭대기까지의 높이 h로 모양이 정해지며, h가 r과 같으면 반구가 됩니다. 이 계산기는 캡의 부피, 곡면의 넓이, 평평한 밑면 원의 반지름을 구하므로 돔, 렌즈, 구형 탱크의 수위, 둥근 뚜껑을 다룰 때 유용합니다.

계산 방법

• 부피: V = πh²(3r − h) ÷ 3입니다.
• 곡면 넓이: A = 2πrh이며 평평한 밑면은 포함하지 않습니다.
• 밑면 반지름: a = √(h(2r − h))입니다.

h는 0과 2r 사이여야 합니다. h = r이면 반구로 V = 2πr³/3, 곡면 넓이 2πr²이고, h = 2r이면 구 전체인 4πr³/3이 됩니다.

원리

구의 중심을 원점에 두면 높이 y에서 자른 단면은 반지름 √(r² − y²)인 원이고 넓이는 π(r² − y²)입니다. 이 단면을 y = r − h부터 r까지 모두 더하는 것, 곧 적분하는 것이 πh²(3r − h)/3입니다. 밑면 반지름은 구의 반지름, 중심에서 자른 면까지의 거리 r − h, 밑면 반지름이 이루는 직각삼각형에서 a² = r² − (r − h)² = h(2r − h)로 나옵니다.

곡면 넓이는 아르키메데스의 유명한 발견입니다. 구의 띠 부분은 구를 감싸는 원기둥에서 같은 높이의 띠와 넓이가 같으므로, 곡면 넓이는 자르는 위치와 관계없이 높이 h에만 비례합니다.

예제 풀이

1. 입력값: r = 5, h = 2입니다.
2. 부피: π × 2² × (3 × 5 − 2) ÷ 3 = 52π/3 ≈ 54.45427266입니다.
3. 곡면 넓이: 2π × 5 × 2 = 20π ≈ 62.83185307입니다.
4. 밑면 반지름: √(2 × (10 − 2)) = √16 = 4입니다.
5. 검산: 중심에서 자른 면까지 5 − 2 = 3이므로 3, 4, 5 직각삼각형이 맞습니다.

결과 해석

반지름 5인 구 전체의 부피는 약 523.6이므로 이 캡은 약 10%를 차지합니다. 부피는 높이에 비례하지 않습니다. 높이가 r/2인 캡은 반구 부피의 5/16(약 31%)에 불과한데, 꼭대기 쪽이 좁기 때문입니다. 구형 탱크의 수위가 일정하게 오르지 않는 이유가 여기에 있습니다. 반면 곡면 넓이는 h에 정확히 비례합니다.

흔한 실수

• 구의 반지름 r 대신 밑면 반지름 a를 넣는 경우입니다. a와 h를 알면 먼저 r = (a² + h²) ÷ (2h)를 구합니다.
• h를 자른 면이 아니라 구의 중심에서부터 재는 경우입니다.
• 곡면 넓이에 밑면이 포함된다고 생각하는 경우입니다. 전체 겉넓이는 πa²를 더해야 합니다.

자주 묻는 질문

돔의 폭과 높이로 구의 반지름을 구할 수 있나요?

폭의 절반을 a라 하면 r = (a² + h²) ÷ (2h)입니다. a = 4, h = 2이면 r = 20 ÷ 4 = 5입니다.

반지름 5인 반구의 부피는 얼마인가요?

2πr³/3 = 2π × 125 ÷ 3 ≈ 261.8입니다.

구형 탱크에 액체가 얼마나 찼는지 알 수 있나요?

액체 깊이를 h로 한 캡의 부피를 구 전체 부피 4πr³/3으로 나누면 채워진 비율이 됩니다.

출처: Archimedes, On the Sphere and Cylinder, Book I (surface of a spherical segment) · D. Zwillinger (ed.), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press