홍라이프 계산기구면좌표·원기둥좌표 변환 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 3차원 직교좌표 (x, y, z)로 주어진 점을 두 가지 곡선좌표계로 바꿔 줍니다. 원기둥좌표 (ρ, θ, z)는 높이 z는 그대로 두고 xy평면에서만 극좌표를 씁니다. 구면좌표 (r, θ, φ)는 원점까지의 거리와 두 개의 각으로 점을 나타냅니다. 삼중적분, 전기장·중력장, 안테나 방사 패턴처럼 축이나 중심에 대해 대칭인 문제에서 많이 쓰입니다.
계산 방법
- 원기둥좌표: ρ = √(x² + y²), θ = atan2(y, x), z는 그대로입니다.
- 구면좌표: r = √(x² + y² + z²), θ = atan2(y, x), φ = arccos(z / r)입니다.
각은 도(°)로 표시합니다. 이 계산기에서 θ는 xy평면에서 +x축부터 시계 반대 방향으로 잰 방위각(−180°~180°)이고, φ는 +z축에서 아래로 잰 극각(0°~180°)입니다. 거리는 입력과 같은 단위입니다.
원리
점을 xy평면에 수직으로 비추면 그림자가 생깁니다. 그림자와 z축 사이 거리가 ρ, 그림자의 방향이 방위각 θ이며, 이는 2차원 극좌표와 똑같습니다. 여기에 높이 z를 붙이면 원기둥좌표가 됩니다. 구면좌표에서는 3차원 피타고라스 정리로 r을 구하고, r·z·ρ가 이루는 직각삼각형에서 cos φ = z / r, sin φ = ρ / r이 성립합니다. 거꾸로는 x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ입니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 x = 1, y = 1, z = 1입니다.
- ρ = √(1 + 1) = √2 = 1.414213562입니다.
- θ = atan2(1, 1) = 45°입니다.
- r = √(1 + 1 + 1) = √3 = 1.732050808입니다.
- φ = arccos(1/√3) = arccos(0.57735) = 54.73561032°입니다.
- 결과는 구면좌표 1.732050808, θ 45°, φ 54.73561032°, 원기둥좌표 1.414213562, 45°, 1입니다.
결과 해석
φ = 0°이면 점이 +z축 위에, 90°이면 xy평면 위에, 180°이면 −z축 위에 있습니다. θ가 음수이면 그림자가 x축 아래쪽(y < 0)에 있다는 뜻입니다. (1, 1, 1)은 단위 정육면체의 꼭짓점이며, 54.7356°는 정육면체의 대각선과 모서리가 이루는 각으로 잘 알려진 값입니다.
흔한 실수
- θ와 φ의 이름을 혼동하는 경우입니다. 국제표준 ISO 80000-2와 대부분의 물리 교재는 θ를 극각, φ를 방위각으로 쓰고, 많은 미적분 교재와 이 계산기는 반대로 씁니다. 공식이 어느 약속을 따르는지 꼭 확인하십시오.
- 극각 대신 위도를 넣는 경우입니다. 위도는 90° − φ입니다.
- arctan(y/x)를 써서 방위각의 사분면을 잘못 잡는 경우입니다.
자주 묻는 질문
구면좌표를 직교좌표로 되돌리려면 어떻게 하나요?
θ가 방위각, φ가 극각일 때 x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ입니다.
적분할 때 부피요소는 어떻게 되나요?
원기둥좌표는 dV = ρ dρ dθ dz, 구면좌표는 dV = r² sin φ dr dθ dφ입니다.
위도·경도와 같은 개념인가요?
거의 같습니다. 경도는 θ에, 위도는 90° − φ에 해당합니다. 다만 실제 지구 좌표는 완전한 구가 아니라 타원체를 기준으로 합니다.
출처: ISO 80000-2:2019, Quantities and units — Part 2: Mathematics (coordinate systems) · James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, sections on cylindrical and spherical coordinates