홍라이프 계산기나선 길이 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 종이, 테이프, 필름, 케이블, 원단처럼 롤에 감긴 재료의 길이를 심(코어) 지름, 롤 바깥지름, 재료 두께로 추정합니다. 길이, 감긴 횟수, 간단한 교차 확인 추정값, 나선의 피치를 보여 줍니다. 재고 관리, 인쇄, 가공, 포장, 공급업체가 밝힌 롤 길이 확인에 씁니다.
계산 방법
재료는 아르키메데스 나선 r = b·θ(b = t ÷ 2π)를 이룹니다.
- 감긴 횟수 N = (D − d) ÷ 2t
- 정확한 길이 L = F(R) − F(r₀), R = D/2, r₀ = d/2, F(r) = [r·√(r² + b²) + b²·ln(r + √(r² + b²))] ÷ 2b
- 간단한 추정: N × π(D + d)/2, 즉 감긴 횟수 × 평균 둘레
지름과 두께는 밀리미터로 넣고, 길이는 미터로 나옵니다.
원리
한 바퀴마다 반지름이 재료 두께 하나만큼 늘어나므로, 반지름이 각에 비례해 고르게 커집니다. 이것이 아르키메데스 나선입니다. 길이는 호의 길이 적분 ∫√(r² + (dr/dθ)²) dθ이며 위와 같은 닫힌 식이 있습니다. 재료가 얇으면 한 바퀴 동안 반지름이 거의 변하지 않아 각 바퀴가 거의 원이 되므로, 전체 길이는 '감긴 횟수 × 평균 둘레'와 매우 가깝습니다. 그래서 여기서는 두 값이 표시 자릿수까지 같습니다.
예제 풀이
기본값은 심 지름 76mm, 바깥지름 300mm, 두께 0.1mm입니다.
- 감긴 횟수 N = (300 − 76) ÷ (2 × 0.1) = 224 ÷ 0.2 = 1,120
- 평균 둘레 = π × (300 + 76) ÷ 2 = π × 188 ≈ 590.62mm
- 추정: 1,120 × 590.62mm ≈ 661,494mm = 661.494m
- b = 0.1 ÷ 2π ≈ 0.0159155mm/rad로 나선 적분을 계산하면 661.494m입니다.
| 한 바퀴당 재료 두께 (mm) | 재료 길이 (m) |
|---|---|
| 0.025 | 2,645.97 |
| 0.05 | 1,322.99 |
| 0.075 | 881.992 |
| 0.1 | 661.494 |
| 0.125 | 529.195 |
| 0.15 | 440.996 |
| 0.2 | 330.747 |
결과 해석
이 길이는 재료가 틈 없이 단단히 감기고 두께가 일정하다고 가정한 값입니다. 실제 롤은 조금 느슨하게 감기거나 장력으로 눌려 있어 실측 길이가 몇 퍼센트 다를 수 있습니다. 실제 길이를 알면 이 도구를 거꾸로 써서 실효 두께를 추정할 수도 있습니다. 같은 롤을 여러 개 관리한다면 한 롤의 실측 길이로 실효 두께를 정해 두고 나머지 롤의 남은 길이를 지름만 재서 어림하면 편리합니다.
흔한 실수
- 심이나 롤의 지름 대신 반지름을 넣는 경우
- 눌리거나 층 사이에 공기가 있는 재료에 공칭 두께를 쓰는 경우
- 밀리미터와 인치를 섞는 경우
- 타원형이거나 찌그러진 롤의 바깥지름을 재는 경우
자주 묻는 질문
롤에 감긴 종이 길이는 어떻게 구하나요?
길이 ≈ π × (D² − d²) ÷ (4t)이며, 감긴 횟수 × 평균 둘레와 같은 식입니다.
두께가 왜 그렇게 중요한가요?
두께가 절반이면 감긴 횟수가 두 배가 되어 길이도 두 배가 됩니다.
길이를 알면 두께를 구할 수 있나요?
네. 같은 단위로 t ≈ π(D² − d²) ÷ (4L)입니다.
출처: J. D. Cook, "Length of a general Archimedean spiral" (2024)