홍라이프 계산기원에 내접하는 정사각형 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 네 꼭짓점이 모두 원 위에 있도록 원 안에 꼭 맞는 정사각형을 계산합니다. 반지름, 정사각형의 한 변, 대각선, 원의 넓이 중 하나를 넣으면 한 변, 대각선, 두 넓이, 남는 넓이, 원에서 차지하는 비율, 둘레와 원주를 모두 구합니다. 둥근 통나무에서 각재를 켤 때, 디자인 배치, 타일 작업, 기하 과제에 씁니다.
계산 방법
- 정사각형의 대각선이 원의 지름입니다. d = 2r
- 한 변 s = r√2, 거꾸로 r = s ÷ √2
- 정사각형 넓이 = s² = 2r², 원의 넓이 = πr²
- 남는 넓이 = (π − 2)r²
- 차지하는 비율 = 2 ÷ π ≈ 63.66%
- 정사각형 둘레 = 4s, 원주 = 2πr
어떤 값을 넣든 먼저 반지름으로 바꾼 뒤 나머지를 구합니다.
원리
내접 정사각형의 각 꼭짓점은 원 위에 있고 그 각은 90°입니다. 원에 내접하는 직각은 항상 지름 위에 서므로(탈레스 정리) 정사각형의 대각선이 지름이 됩니다. 한 변이 s인 정사각형의 대각선은 피타고라스 정리로 s√2이므로 s와 r이 이어집니다. 두 넓이가 모두 r²에 비례하므로 그 비 2r² ÷ πr² = 2/π는 크기와 관계없이 같습니다.
예제 풀이
기본값은 반지름 r = 5입니다.
- 대각선 = 2 × 5 = 10
- 한 변 s = 5√2 ≈ 7.07107
- 정사각형 넓이 = 2 × 25 = 50, 원의 넓이 = 25π ≈ 78.5398
- 남는 넓이 = 78.5398 − 50 = 28.5398, 차지하는 비율 = 50 ÷ 78.5398 ≈ 63.66%
- 정사각형 둘레 = 4 × 7.07107 ≈ 28.2843, 원주 = 10π ≈ 31.4159
| 그 값 (길이, 넓이는 단위²) | 정사각형 한 변 s |
|---|---|
| 1.25 | 1.76777 |
| 2.5 | 3.53553 |
| 3.75 | 5.3033 |
| 5 | 7.07107 |
| 6.25 | 8.83883 |
| 7.5 | 10.6066 |
| 10 | 14.1421 |
결과 해석
한 변은 원 안에 들어가는 가장 큰 정사각형의 크기입니다. 크기와 상관없이 원의 약 36%가 네 개의 활꼴로 남습니다. 반지름이 두 배가 되면 정사각형과 원의 넓이는 모두 네 배가 되지만 비율은 그대로입니다. 둥근 통나무에서 각재를 켤 때는 이 부분이 톱날 손실 이전의 버려지는 양입니다. 반대로 정해진 크기의 각재가 필요하다면 그 한 변에 √2를 곱한 값 이상의 지름을 가진 통나무를 골라야 합니다.
흔한 실수
- 한 변을 지름과 같게 두는 경우(지름과 같은 것은 대각선입니다)
- s = r√2에 반지름 대신 지름을 넣는 경우
- 내접 정사각형과 한 변이 지름과 같은 외접 정사각형을 혼동하는 경우
- 원의 넓이 항목에 넓이 단위가 필요하다는 점을 잊는 경우
자주 묻는 질문
지름 10인 원에 들어가는 가장 큰 정사각형은 얼마인가요?
한 변이 10 ÷ √2 ≈ 7.07이고 넓이는 50입니다.
내접 정사각형은 원의 몇 퍼센트를 차지하나요?
크기와 관계없이 2/π ≈ 63.66%입니다.
정사각형 안의 원과는 어떻게 다른가요?
정사각형에 내접하는 원은 지름이 한 변과 같고 정사각형의 π/4 ≈ 78.54%를 차지합니다.
출처: OpenStax, Prealgebra 2e, §9.3 (Pythagorean theorem) and §9.5 (circles)