홍라이프 계산기표준편차 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
표준편차 계산기는 자료가 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는지를 계산합니다. 표본표준편차 s와 모표준편차 σ를 모두 구하고 분산, 평균, 변동계수, 표준오차도 함께 보여 줍니다. 시험 성적, 실험 측정값, 투자 수익률, 품질관리처럼 '평균이 얼마인가'뿐 아니라 '얼마나 고른가'를 말해야 할 때 씁니다.
계산 방법
- 평균: x̄ = Σx ÷ n입니다.
- 편차제곱합: SS = Σ(x − x̄)²입니다.
- 표본분산 s² = SS ÷ (n − 1), 표본표준편차 s = √s²입니다.
- 모표준편차 σ = √(SS ÷ n)입니다.
- 변동계수 CV = s ÷ x̄ × 100%입니다.
- 평균의 표준오차 SE = s ÷ √n입니다.
표준편차는 자료와 단위가 같고, 분산은 단위의 제곱이며, 변동계수는 단위가 없습니다. 값은 2개 이상 필요합니다.
원리
편차 x − x̄는 각 값이 중심에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다. 편차를 그대로 더하면 항상 0이 되므로 제곱한 뒤 평균을 내고, 제곱근을 씌워 원래 단위로 되돌립니다. 자료가 더 큰 모집단에서 뽑은 표본이라면 n 대신 n − 1로 나눕니다(베셀 보정). 표본평균은 같은 자료에 맞춰 계산되므로 편차가 실제보다 약간 작게 나오는데, n − 1로 나누면 이를 보정해 s²이 모분산의 불편추정량이 됩니다. 자료가 모집단 전체일 때만 n으로 나눈 σ를 씁니다.
예제 풀이
- 자료: 12, 15, 11, 19, 22, 15, 18, 25, 14, 16(n = 10)입니다. 합이 167이므로 x̄ = 16.7입니다.
- 편차제곱은 22.09, 2.89, 32.49, 5.29, 28.09, 2.89, 1.69, 68.89, 7.29, 0.49이고 SS = 172.1입니다.
- s² = 172.1 ÷ 9 ≈ 19.1222, s = √19.1222 ≈ 4.3729입니다.
- σ = √(172.1 ÷ 10) = √17.21 ≈ 4.1485입니다.
- CV = 4.3729 ÷ 16.7 × 100 ≈ 26.19%, SE = 4.3729 ÷ √10 ≈ 1.3828입니다.
결과 해석
종 모양에 가까운 자료라면 약 3분의 2가 평균 ±1 표준편차 안에, 약 95%가 ±2 표준편차 안에 들어갑니다. 예제에서는 대략 12.3~21.1입니다. 변동계수는 단위나 크기가 다른 자료의 흩어짐을 비교할 때 쓰며, 작을수록 값이 고릅니다. 표준오차는 개별 값의 흩어짐이 아니라 평균의 정밀도를 나타내며 n이 커질수록 작아집니다.
흔한 실수
- 표본 자료에 모표준편차를 써서 흩어짐을 작게 보는 경우(특히 n이 작을 때)
- 표준편차(자료의 흩어짐)와 표준오차(평균의 불확실성)를 혼동하는 경우
- 음수가 있거나 평균이 0에 가까운 자료에 변동계수를 쓰는 경우
자주 묻는 질문
엑셀은 어떤 표준편차를 쓰나요?
STDEV.S는 n − 1(표본), STDEV.P는 n(모집단)으로 나눕니다.
표준편차가 음수일 수 있나요?
없습니다. 제곱합의 제곱근이므로 0 이상이며, 0은 모든 값이 같다는 뜻입니다.
표준편차가 크다는 기준이 있나요?
정해진 기준은 없습니다. 평균에 대한 비율(변동계수)이나 해당 분야의 일반적인 값과 비교해 판단합니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.6 Measures of Scale · Moore, D. S., McCabe, G. P. and Craig, B. A., Introduction to the Practice of Statistics (W. H. Freeman)