홍라이프 계산기별 모양 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 오각별 {5/2} 같은 정다각별 {p/q}의 기하를 계산합니다. 꼭짓점 수, 건너뛰는 간격, 바깥 반지름으로 별의 넓이, 원에서 차지하는 비율, 외곽선 둘레, 안쪽 반지름, 각 꼭짓점의 각, 그은 선의 길이를 구합니다. 별 그리기와 오리기, 바느질·퀼트 도안, 간판, 목공, 기하 활동에 씁니다.
계산 방법
반지름 R인 원 위의 p개 점을 q개씩 건너 이을 때 다음과 같습니다.
- 선(현)의 길이 = 2R·sin(πq/p), 그은 선 전체 = p × 현
- 각 꼭짓점의 각 = 180° × (p − 2q) ÷ p
- 안쪽 반지름 r = R·cos(πq/p) ÷ cos(π(q − 1)/p)
- 외곽선 넓이 = p·R·r·sin(π/p)
- 외곽선 둘레 = 2p·√(R² + r² − 2Rr·cos(π/p))
p와 q는 공약수가 없어야 하고 2 ≤ q < p/2여야 합니다.
원리
별의 끝점은 원 위에 고르게 놓이고, 그은 선은 q − 1개의 점을 건너뛰는 현입니다. 선들이 만나는 안쪽 꼭짓점도 반지름 r인 작은 원 위에 고르게 놓입니다. 그래서 외곽선은 끝점과 안쪽 꼭짓점이 번갈아 나오는 2p각형입니다. 중심에서 2p개의 합동인 삼각형으로 나누면 각 삼각형은 두 변이 R과 r이고 끼인각이 π/p이므로 넓이 공식이 나옵니다. 둘레는 그 변 하나에 코사인 법칙을 써서 구합니다.
예제 풀이
기본값은 p = 5, q = 2, R = 10cm입니다.
- 현 = 2 × 10 × sin 72° ≈ 19.0211cm, 다섯 선 전체 ≈ 95.1057cm
- 각 꼭짓점의 각 = 180° × (5 − 4) ÷ 5 = 36°
- 안쪽 반지름 r = 10 × cos 72° ÷ cos 36° ≈ 3.81966cm
- 넓이 = 5 × 10 × 3.81966 × sin 36° ≈ 112.257cm²로 원(314.16cm²)의 약 35.73%입니다.
- 외곽선 둘레 ≈ 72.6543cm
| 바깥 반지름 R (중심에서 뿔 끝까지, cm) | 별의 넓이 |
|---|---|
| 2.5 | 7.01606 |
| 5 | 28.0642 |
| 7.5 | 63.1446 |
| 10 | 112.257 |
| 12.5 | 175.402 |
| 15 | 252.578 |
| 20 | 449.028 |
결과 해석
넓이는 종이에서 오려 낸 것 같은 꽉 찬 별 모양의 넓이입니다. 외곽선 둘레는 그 별을 오릴 때 자르는 길이이고, 그은 선 전체는 가운데를 지나는 직선으로 별을 그릴 때 필요한 잉크나 철사의 길이입니다. 간격 q를 크게 하면 끝이 더 뾰족하고 가늘어지며 안쪽 반지름이 작아집니다. 오각별의 안쪽 반지름과 바깥 반지름의 비 0.382는 황금비와 관련된 값으로, 오각별이 황금비의 대표적인 예로 꼽히는 이유이기도 합니다.
흔한 실수
- {6/2}처럼 공약수가 있는 p, q를 쓰는 경우(별 하나가 아니라 삼각형 두 개가 됩니다)
- 외곽선 둘레와 그은 선 전체 길이를 혼동하는 경우
- 반지름 대신 지름을 넣는 경우
- 이 공식으로 사각별을 기대하는 경우(p = 4이면 2 ≤ q < 2를 만족하는 q가 없습니다)
자주 묻는 질문
오각별 끝의 각은 몇 도인가요?
36°이며, 다섯 끝의 각을 더하면 180°입니다.
{5/2}는 무슨 뜻인가요?
원 위의 다섯 점을 두 칸씩 건너 잇는다는 뜻입니다.
p와 q에 공약수가 없어야 하는 이유는 무엇인가요?
공약수가 있으면 모든 점을 지나기 전에 출발점으로 돌아와 도형이 따로 떨어진 다각형으로 나뉘기 때문입니다.
출처: Weisstein, E. W., "Star Polygon", Wolfram MathWorld