홍라이프 계산기지구를 두른 밧줄 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 고전 퍼즐 '지구를 두른 밧줄'을 풉니다. 구에 딱 맞게 감긴 밧줄에 길이를 조금 더하면, 밧줄을 고르게 띄웠을 때 얼마나 뜨는지, 한 점에서 잡아당겨 올렸을 때 얼마나 높아지는지를 구합니다. 수학 퍼즐, 원과 접선에 대한 직관 교육, 수업에서 흥미를 끌 때 씁니다.
계산 방법
- 고르게 띄울 때: 2π(R + h) = 2πR + ΔL이므로 h = ΔL ÷ 2π이고, 반지름 R은 소거됩니다.
- 한 점에서 당길 때: 들린 호의 반각을 θ라 하면 밧줄이 두 접선을 따라가므로 ΔL = 2R(tan θ − θ), 꼭대기 높이는 H = R(1 ÷ cos θ − 1)입니다.
- 첫 식은 이분법으로 θ를 풀며, 아주 작은 각에서는 반올림 손실을 피하려고 급수 tan θ − θ = θ³/3 + 2θ⁵/15 + …를 씁니다.
- 땅에서 떨어진 밧줄의 호(2Rθ), 각 직선 부분(R·tan θ), 원래 밧줄 길이 2πR, 들린 호 전체의 각(2θ)도 보여 줍니다.
원리
원의 둘레는 원의 크기와 상관없이 반지름 한 단위마다 2π씩 늘어납니다. 그래서 밧줄을 1m 늘리면 축구공이든 행성이든 틈은 약 15.9cm로 같습니다. 1m가 4만 km에 비해 아주 작아서 직관과 어긋나 보이지만, 틈은 더한 길이로만 정해집니다. 남는 길이를 한 점에 모으면 밧줄은 두 접선을 따라 지면을 떠납니다. 큰 구에서는 접선이 만나기까지 아주 멀리 뻗으므로, 아주 작은 여유로도 꼭대기가 놀랄 만큼 높아집니다.
예제 풀이
기본값은 R = 6,371km(지구 평균 반지름), ΔL = 1m입니다.
- 고르게 띄우면 h = 1 ÷ 2π ≈ 0.1592m = 15.92cm입니다.
- 원래 밧줄 길이는 2π × 6,371km ≈ 40,030.174km입니다.
- 한 점에서 당기면 2R(tan θ − θ) = 1m를 풀어 θ ≈ 0.354°이고, 들린 호 전체는 0.7076°입니다.
- 꼭대기 높이 H = 6,371,000 × (1 ÷ cos θ − 1) ≈ 121.46m입니다.
- 땅에서 떨어진 부분은 지표를 따라 약 78.68km이고, 직선 부분은 한쪽에 약 39.34km입니다.
| 늘린 밧줄 길이 ΔL (m) | 고르게 띄울 때의 틈 (cm) |
|---|---|
| 0.25 | 3.98 |
| 0.5 | 7.96 |
| 0.75 | 11.94 |
| 1 | 15.92 |
| 1.25 | 19.89 |
| 1.5 | 23.87 |
| 2 | 31.83 |
결과 해석
고르게 띄운 틈은 모든 구에서 같고 더한 길이에 정비례합니다. 한 점에서 당긴 높이는 대략 R²ΔL의 세제곱근에 비례해 커지므로 큰 구에서 훨씬 큽니다. 두 답 모두 완전히 매끄러운 구와 늘어나지 않는 밧줄을 가정합니다. 같은 1m라도 어떻게 띄우느냐에 따라 15.9cm와 약 121m로 결과가 크게 달라진다는 점이 이 퍼즐의 핵심입니다.
흔한 실수
- 고르게 띄운 틈이 구의 크기에 따라 달라진다고 생각하는 경우
- 킬로미터 칸에 미터로 반지름을 넣는 경우
- 반지름 대신 지름을 넣는 경우
- 한 점 높이가 더한 길이에 정비례한다고 생각하는 경우(훨씬 느리게 늘어납니다)
자주 묻는 질문
지구와 축구공에서 틈이 왜 같나요?
둘레 = 2π × 반지름이므로 둘레에 ΔL을 더하면 반지름은 항상 ΔL ÷ 2π만큼 늘어나기 때문입니다.
1m를 더하면 틈은 얼마나 되나요?
둘레 전체에서 약 15.9cm로, 고양이가 기어 지나갈 정도입니다.
한 점에서 당기면 왜 그렇게 높아지나요?
밧줄이 수십 km에 걸쳐 거의 접선 상태이고, 작은 여유만으로 긴 접선들이 지면 위 높은 곳에서 만나기 때문입니다.
출처: Standard geometry: circumference 2πr; tangent length R·tan θ and arc length Rθ