부분집합 계산기 (A ⊆ B 판별, 부분집합·진부분집합 개수)

부분집합 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 집합 A가 B의 부분집합이나 진부분집합인지, B가 A의 부분집합인지, 두 집합이 같은지 확인합니다. B에 없는 A의 원소를 보여 주고, B의 부분집합 수, 진부분집합 수, 원하는 크기 k인 부분집합 수를 셉니다. 집합론, 이산수학, 확률 과제에 씁니다.

계산 방법

• A ⊆ B(부분집합): A의 모든 원소가 B에 있습니다.
• A ⊂ B(진부분집합): A ⊆ B이고 B에 A에 없는 원소가 하나 이상 있습니다.
• A = B: A ⊆ B이고 B ⊆ A입니다.
• B의 부분집합 수 = 2ⁿ(n = n(B)), 진부분집합 수 = 2ⁿ − 1
• 원소가 정확히 k개인 부분집합 수 = C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)

원소는 입력한 그대로 비교하므로 '2'와 '2.0'은 다른 원소입니다.

원리

부분집합은 순서나 반복이 아니라 포함 여부만의 문제입니다. A ⊆ B를 보이려면 A의 원소를 하나씩 확인하면 되고, 빠진 원소가 하나만 있어도 부분집합이 아닙니다. 공집합은 확인할 원소가 없으므로 저절로 통과하여 모든 집합의 부분집합입니다. 부분집합의 수는 B의 각 원소를 넣거나 빼는 선택으로 2ⁿ이 되고, 정해진 크기의 부분집합 수는 n개 중 k개를 고르는 조합 문제입니다.

예제 풀이

기본값은 A = {2, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, k = 2입니다.

1. 2 ∈ B, 4 ∈ B이므로 A ⊆ B는 예입니다.
2. B에는 A에 없는 1, 3, 5가 있으므로 A는 진부분집합입니다.
3. 1 ∉ A이므로 B ⊄ A이고 두 집합은 같지 않습니다. B에 없는 A의 원소는 ∅입니다.
4. n(B) = 5이므로 B의 부분집합은 2⁵ = 32개, 진부분집합은 31개입니다.
5. 원소가 2개인 B의 부분집합은 C(5, 2) = 10개입니다. n(A) = 2, n(B) = 5입니다.

결과 해석

A ⊆ B가 '예', B ⊆ A가 '아니요'이면 A가 B 안에 완전히 들어가 있다는 뜻입니다. B에 없는 A의 원소가 표시되면 그 원소들이 바로 부분집합이 아닌 이유입니다. 개수는 B에서 만들 수 있는 서로 다른 선택의 수로, 예를 들어 다섯 명 중 두 명으로 이루어진 위원회의 수를 알려 줍니다. 특정 원소를 반드시 포함하는 부분집합의 수는 그 원소를 빼고 남은 원소로 2ⁿ⁻¹을 계산하면 됩니다.

흔한 실수

• ⊆(같을 수 있음)과 ⊂(진부분집합)을 혼동하는 경우
• '원소이다'(∈)와 '부분집합이다'(⊆)를 혼동하는 경우(2 ∈ B이고, {2} ⊆ B입니다)
• 공집합과 B 자신도 B의 부분집합임을 잊는 경우
• 'a'와 'A'처럼 원소를 일관되지 않게 입력하는 경우

자주 묻는 질문

모든 집합은 자기 자신의 부분집합인가요?

네, 항상 A ⊆ A입니다. 다만 자기 자신의 진부분집합은 아닙니다.

공집합은 모든 집합의 진부분집합인가요?

공집합이 아닌 모든 집합의 진부분집합입니다. 자기 자신의 진부분집합은 아닙니다.

원소가 5개인 집합의 부분집합은 몇 개인가요?

2⁵ = 32개입니다.

출처: OpenStax, Contemporary Mathematics (2023), §1.2 Subsets