홍라이프 계산기곱의 합 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 두 목록을 값끼리 곱한 뒤 더한 Σxᵢyᵢ를 구합니다. 각 곱, Σx, Σy, 편차곱의 합, 표본공분산도 보여 줍니다. 내적, 수량 × 단가의 합계, 가중합, 상관과 회귀를 계산하는 중간 단계에 씁니다.
계산 방법
- 곱의 합: Σxᵢyᵢ = x₁y₁ + x₂y₂ + … + xₙyₙ
- 편차곱의 합: SP = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = Σxy − (Σx)(Σy) ÷ n
- 표본공분산 = SP ÷ (n − 1)
- 곱의 평균 = Σxy ÷ n
두 목록의 길이는 같아야 합니다.
원리
곱의 합은 두 벡터의 내적으로, 성분을 짝지어 두 목록을 하나의 수로 합칩니다. 거래명세서에서는 Σ 수량 × 단가, 즉 총액입니다. 통계에서는 x와 y가 각자의 평균 주위에서 함께 어떻게 움직이는지가 중요합니다. SP는 편차끼리 곱하므로, 큰 x가 큰 y와 함께 나오면 곱 대부분이 양수가 되어 SP가 양수입니다. SP는 공분산, 상관계수, 회귀 기울기의 분자입니다. Σxy − (Σx)(Σy)/n은 편차를 구하지 않고 같은 값을 주는 간편식입니다.
예제 풀이
기본 목록은 x = 1, 2, 3, 4, 5와 y = 2, 4, 5, 4, 5입니다.
- 곱: 1×2 = 2, 2×4 = 8, 3×5 = 15, 4×4 = 16, 5×5 = 25
- 곱의 합: 2 + 8 + 15 + 16 + 25 = 66
- Σx = 15, Σy = 20, n = 5
- SP = 66 − 15 × 20 ÷ 5 = 66 − 60 = 6
- 표본공분산 = 6 ÷ 4 = 1.5, 곱의 평균 = 66 ÷ 5 = 13.2
결과 해석
곱의 합 자체는 금액 같은 합계나 내적으로 의미가 있습니다. 관계를 볼 때는 SP나 공분산을 보십시오. 양수면 x와 y가 함께 커지는 경향, 음수면 하나가 커질 때 다른 하나가 작아지는 경향, 0에 가까우면 직선적 관계가 없음을 뜻합니다. 공분산의 크기는 단위에 따라 달라지므로 관계의 강도는 상관계수로 판단하십시오. 이 예의 상관계수는 SP를 x와 y 각각의 편차제곱합의 곱의 제곱근으로 나누어 구할 수 있습니다.
흔한 실수
- 길이가 다르거나 순서가 맞지 않는 목록을 쓰는 경우
- Σxy와 (Σx)(Σy)를 혼동하는 경우(여기서는 66과 300)
- 표본공분산인데 SP를 n − 1이 아니라 n으로 나누는 경우
- 공분산만으로 관계의 강도를 판단하는 경우
자주 묻는 질문
상관계수는 어떻게 구하나요?
이 예에서는 x의 편차제곱합이 10, y의 편차제곱합이 6이므로 r = 6 ÷ √(10 × 6) ≈ 0.775입니다.
곱의 합은 내적과 같은가요?
네, 두 목록을 벡터로 보면 같습니다.
회귀에서는 SP를 어떻게 쓰나요?
최소제곱 기울기는 SP를 x 편차제곱합으로 나눈 값입니다.
가중합에도 쓸 수 있나요?
네. 한 목록에 수량, 다른 목록에 가중치나 단가를 넣으면 됩니다.
출처: OpenStax, Introductory Statistics 2e (2023), Chapter 12 Linear Regression and Correlation