홍라이프 계산기편차제곱합 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 평균에서의 편차를 제곱해 더한 SS = Σ(x − x̄)²와 함께 평균, 원자료 제곱합, 보정항, 표본분산과 모분산, 표본표준편차를 구합니다. 통계 과제, 분산분석표, 회귀분석, 손으로 한 분산 계산 확인에 씁니다.
계산 방법
- 평균: x̄ = Σx ÷ n
- 편차제곱합: SS = Σ(x − x̄)²
- 간편식(같은 값): SS = Σx² − (Σx)² ÷ n, 원자료 제곱합에서 보정항을 뺀 값
- 표본분산 s² = SS ÷ (n − 1), 모분산 σ² = SS ÷ n
- 표준편차 = 분산의 제곱근
큰 수에서 간편식의 반올림 손실을 피하려고 편차로 직접 SS를 계산합니다.
원리
평균에서의 편차는 합하면 항상 0이 되어 퍼짐을 직접 재지 못합니다. 제곱하면 모든 편차가 양수로 반영되고, 평균에서 먼 값에 더 큰 비중이 실립니다. SS는 전체 제곱 퍼짐이고, 값의 개수(표본이면 n − 1)로 나누면 분산이 됩니다. 간편식은 (x − x̄)²을 전개하고 Σx = n·x̄를 이용해 얻습니다. 분산분석과 회귀분석에서는 전체 SS를 모형이 설명하는 부분과 남는 부분으로 나눕니다.
예제 풀이
기본 자료는 4, 7, 6, 9, 3, 7입니다.
- Σx = 36, n = 6, 평균 = 6
- 편차: −2, 1, 0, 3, −3, 1
- 제곱: 4, 1, 0, 9, 9, 1이므로 SS = 24
- 검산: Σx² = 240, 보정항 (36)² ÷ 6 = 216, 240 − 216 = 24
- 표본분산 = 24 ÷ 5 = 4.8, s ≈ 2.19089023, 모분산 = 24 ÷ 6 = 4
결과 해석
SS는 값의 개수가 많을수록 커지므로 자료끼리 비교할 때는 분산이나 표준편차를 쓰십시오. SS가 0이면 모든 값이 평균과 같습니다. 더 큰 모집단에서 뽑은 표본이면 표본분산을, 모든 구성원을 다 가지고 있으면 모분산을 씁니다. 이 예에서 표준편차 약 2.19는 값들이 평균 6에서 대략 2 정도씩 떨어져 있다는 뜻으로 읽을 수 있습니다.
흔한 실수
- 제곱의 합 대신 합의 제곱을 구하는 경우((Σx)² ≠ Σx²)
- 평균을 빼는 것을 잊는 경우
- 표본분산인데 n − 1 대신 n으로 나누는 경우
- 평균을 반올림한 뒤 편차를 구해 오차가 커지는 경우
자주 묻는 질문
편차의 합만 구하면 안 되나요?
편차의 합은 항상 0이라 퍼짐을 나타내지 못합니다. 이 예에서도 −2 + 1 + 0 + 3 − 3 + 1 = 0입니다.
표본에서는 왜 n − 1로 나누나요?
편차를 자료에 맞춰진 표본평균에서 재므로, n으로 나누면 평균적으로 모분산을 작게 추정하기 때문입니다.
SS와 분산은 어떻게 다른가요?
분산은 SS를 n이나 n − 1로 나눈 값이고, SS는 나누기 전의 합계입니다.
회귀분석의 총제곱합은 무엇인가요?
y의 전체 변동 Σ(y − ȳ)²으로, 모형이 이를 설명된 부분과 잔차 부분으로 나눕니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.5.6 Measures of Scale