홍라이프 계산기조립제법 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 조립제법으로 다항식을 일차식 x − k(또는 ax − b)로 나눕니다. 표의 세 줄, 몫, 나머지, 결과식, 나누는 식이 인수인지 여부를 보여 주고 나머지 정리로 검산합니다. 대수 과제, 인수분해, 근 찾기, 다항식 값의 빠른 계산에 씁니다.
계산 방법
- k를 적고(x − 3이면 k = 3, x + 2이면 k = −2), P(x)의 계수를 최고차항부터 쓰되 빠진 차수에는 0을 씁니다.
- 첫 계수를 그대로 내립니다.
- 그 수에 k를 곱해 다음 계수 아래에 쓰고 더합니다.
- 끝까지 반복합니다.
마지막 줄은 한 차수 낮은 몫의 계수이고, 맨 끝 수가 나머지입니다. 나머지 정리에 따라 나머지는 P(k)와 같습니다. ax − b로 나눌 때는 k = b/a로 표를 만든 뒤 몫을 a로 나눕니다.
원리
조립제법은 x − k로 하는 긴 나눗셈에서 필요 없는 부분을 모두 뺀 것입니다. x − k로 나누는 긴 나눗셈은 단계마다 나누는 식에 한 항을 곱해 빼는데, x는 자리만 차지하고 −k를 빼는 것은 k를 더하는 것과 같습니다. 그래서 계수만 남기고 빼는 대신 더하면 짧은 표가 됩니다. P(k)를 빨리 구하는 방법이기도 하며, 다항식을 곱셈을 겹겹이 쓴 꼴로 바꾸는 호너의 방법과 계산이 같습니다.
예제 풀이
기본값은 P(x) = 2x³ − 7x² + 4x + 5, 나누는 식 x − 3, 즉 k = 3입니다.
- 첫째 줄(계수): 2, −7, 4, 5
- 2를 내립니다. 2 × 3 = 6, −7 + 6 = −1
- −1 × 3 = −3, 4 + (−3) = 1. 1 × 3 = 3, 5 + 3 = 8
- 셋째 줄: 2, −1, 1 │ 8이므로 몫은 2x² − x + 1, 나머지는 8입니다.
- 검산: P(3) = 54 − 63 + 12 + 5 = 8. 나머지가 0이 아니므로 x − 3은 인수가 아니며, P(x) = (x − 3)(2x² − x + 1) + 8입니다.
결과 해석
나머지가 0이면 k가 근이고 x − k가 인수이므로, 몫으로 계속 나누어 다른 근을 찾을 수 있습니다. 나머지가 0이 아니면 그 값이 P(k)여서 그래프를 그리거나 검산할 때 유용합니다. 몫은 항상 P보다 차수가 하나 낮습니다. 유리근 후보를 차례로 시험할 때 조립제법을 쓰면 대입보다 계산이 짧고, 근을 찾는 즉시 몫까지 얻을 수 있습니다.
흔한 실수
- x − 3으로 나누는데 k를 −3으로 쓰는 경우
- 빠진 차수의 0 계수를 생략하는 경우
- 각 열에서 더하지 않고 빼는 경우
- 이차 이상의 식으로 나눌 때 조립제법을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
조립제법은 언제 쓸 수 있나요?
x − k 꼴의 일차식(또는 a로 한 번 더 나누는 ax − b)으로 나눌 때입니다.
나머지가 0이면 무슨 뜻인가요?
k가 다항식의 근이고 x − k가 인수라는 뜻입니다.
호너의 방법과는 어떤 관계인가요?
같은 계산을 하며, 호너의 방법은 이를 P(k)를 구하는 데 씁니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §5.4 Dividing Polynomials and §5.5 Zeros of Polynomial Functions