홍라이프 계산기연립일차방정식 풀이 (2원) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
미지수가 두 개인 연립일차방정식 a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂는 두 식을 동시에 만족하는 (x, y)를 찾는 문제입니다. 각 식은 좌표평면 위의 직선이고, 해는 두 직선이 만나는 점입니다. 섞는 비율, 두 가지 물건의 가격, 요금제의 손익분기, 수요와 공급처럼 모르는 양 두 개가 두 조건으로 묶여 있는 상황에서 자주 씁니다.
계산 방법
크라메르 공식을 씁니다.
- 행렬식 D = a₁b₂ − b₁a₂
- x = (c₁b₂ − b₁c₂) ÷ D
- y = (a₁c₂ − c₁a₂) ÷ D
D = 0이면 '하나의 해로 정해지지 않음(no unique solution)'으로 표시합니다. 분자도 행렬식으로, 계수 행렬에서 x의 열(또는 y의 열)을 우변 c₁, c₂로 바꾼 것입니다.
원리
첫째 식에 b₂, 둘째 식에 b₁을 곱해 빼면 y항이 사라지고 (a₁b₂ − b₁a₂)x = c₁b₂ − b₁c₂가 남습니다. 이것이 바로 x에 대한 크라메르 공식이고, 같은 방법으로 x를 소거하면 y가 나옵니다. 즉 가감법을 공식으로 정리한 것입니다. 행렬식 D는 두 직선의 기울기가 다른지를 알려 줍니다. D ≠ 0이면 한 점에서 만나고, D = 0이면 평행해서 해가 없거나 일치해서 해가 무수히 많습니다.
예제 풀이
- 입력값: 2x + 3y = 8, x − y = −1 (a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 8, a₂ = 1, b₂ = −1, c₂ = −1)
- D = 2 × (−1) − 3 × 1 = −5입니다.
- x의 분자 = 8 × (−1) − 3 × (−1) = −5이므로 x = −5 ÷ (−5) = 1입니다.
- y의 분자 = 2 × (−1) − 8 × 1 = −10이므로 y = −10 ÷ (−5) = 2입니다.
- 결과: x = 1, y = 2입니다. 확인: 2 + 6 = 8, 1 − 2 = −1입니다.
결과 해석
구한 해를 두 식에 모두 대입해 성립하는지 확인하십시오. D의 부호는 해와 관계없지만 크기는 의미가 있습니다. 계수에 비해 |D|가 아주 작으면 두 직선이 거의 평행하다는 뜻이어서, 입력값이 조금만 달라져도 해가 크게 바뀝니다.
흔한 실수
- 두 식을 같은 순서(x항, y항, 우변의 상수)로 정리하지 않고 계수를 읽는 경우
- x − y에서 b₂를 1로 넣는 등 부호를 놓치는 경우
- 분자의 순서를 바꾸는 경우(c₁b₂ − b₁c₂와 b₁c₂ − c₁b₂는 부호가 반대입니다)
자주 묻는 질문
D = 0일 때 해가 없는지 무수히 많은지는 어떻게 아나요?
x + y = 2와 2x + 2y = 4처럼 우변까지 같은 비율이면 두 직선이 일치해 해가 무수히 많고, 그렇지 않으면 해가 없습니다.
크라메르 공식이 대입법보다 좋은가요?
2원 연립방정식에서는 빠르고 공식으로 바로 쓸 수 있습니다. 미지수가 많아지면 가우스-조르당 소거법이 훨씬 효율적입니다.
미지수가 세 개여도 쓸 수 있나요?
3 × 3 행렬식으로 쓸 수 있지만, n원 연립방정식 계산기를 쓰는 편이 실용적입니다.
출처: 교육부, 수학과 교육과정(중학교 2학년 '연립일차방정식') · G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press