홍라이프 계산기연립일차방정식 풀이 (가우스-조르당 소거법) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 미지수와 식의 개수에 제한 없이 연립일차방정식을 풉니다. 식 하나를 한 행으로 하여 x₁, x₂, … 의 계수와 우변 값을 차례로 적은 첨가행렬 [A | b]를 넣으면, 기약 행 사다리꼴(RREF)로 바꾸어 해가 하나인지, 무수히 많은지, 없는지를 계수(rank)와 함께 알려 줍니다. 전기 회로 해석, 화학 반응식 계수 맞추기, 네트워크 흐름, 경제 모형, 점을 지나는 곡선 구하기 등에 쓰입니다.
계산 방법
가우스-조르당 소거법은 해를 바꾸지 않는 세 가지 기본 행 연산을 씁니다.
- 두 행을 바꾸기
- 한 행에 0이 아닌 수를 곱하기
- 한 행의 상수배를 다른 행에 더하기
열마다 차례로 선행 성분(피벗)을 1로 만들고, 같은 열의 다른 성분을 모두 0으로 만듭니다. 끝나면 각 행이 xᵢ = 값 꼴이 됩니다. 행렬의 계수(rank)는 피벗의 개수입니다.
- [0 0 … 0 | 0이 아닌 수] 행이 생기면 모순이므로 해가 없습니다.
- 계수가 미지수 개수보다 작으면 자유변수가 있어 해가 무수히 많습니다.
- 그 밖에는 해가 하나입니다.
원리
기본 행 연산은 연립방정식을 동치인 식으로 바꿀 뿐이어서, 원래 식의 해는 새 식의 해이고 연산을 거꾸로 되돌릴 수도 있습니다. 따라서 RREF는 같은 연립방정식을 가장 단순한 모양으로 다시 쓴 것입니다. 계수는 서로 독립인 식이 몇 개인지를 셉니다. 정사각 행렬 A의 계수가 꽉 차면 A는 역행렬을 가지며 해는 x = A⁻¹b 하나뿐입니다.
예제 풀이
- 입력 행: [2 1 −1 | 8], [−3 −1 2 | −11], [−2 1 2 | −3]
- R1 ÷ 2 → [1 ½ −½ | 4]. R2 + 3R1 → [0 ½ ½ | 1], R3 + 2R1 → [0 2 1 | 5]입니다.
- R2 × 2 → [0 1 1 | 2]. R1 − ½R2 → [1 0 −1 | 3], R3 − 2R2 → [0 0 −1 | 1]입니다.
- R3 × (−1) → [0 0 1 | −1]. R1 + R3 → [1 0 0 | 2], R2 − R3 → [0 1 0 | 3]입니다.
- 결과: x1 = 2, x2 = 3, x3 = −1, 계수 3입니다. 첫 식 확인: 2·2 + 3 − (−1) = 8입니다.
결과 해석
계수가 미지수 개수와 같으면 모든 변수가 하나로 정해집니다. 계수가 더 작으면 어떤 식이 다른 식들의 조합이라는 뜻입니다. 해가 무수히 많을 때는 자유변수에 아무 값이나 넣고 나머지 변수를 그에 맞춰 정하면 되고, 해가 없을 때는 식끼리 서로 모순입니다.
흔한 실수
- 우변 값을 빠뜨려 행마다 숫자가 하나씩 모자라는 경우
- 어떤 식에 없는 변수의 계수 0을 생략하는 경우
- 행과 열의 순서를 뒤섞는 경우
자주 묻는 질문
가우스 소거법과 가우스-조르당 소거법은 무엇이 다른가요?
가우스 소거법은 행 사다리꼴에서 멈추고 뒤에서부터 대입해 풀고, 가우스-조르당 소거법은 피벗 위아래를 모두 0으로 만들어 바로 해를 읽습니다.
식이 미지수보다 많아도 되나요?
됩니다. 남는 식이 서로 모순되지 않을 때만 해가 있고, 모순이면 해가 없다고 나옵니다.
계수(rank)는 무엇을 알려 주나요?
서로 독립인 식의 개수입니다. 계수가 3이면 실제로 쓸모 있는 조건이 세 개라는 뜻입니다.
출처: G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press · G. H. Golub, C. F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press