홍라이프 계산기t분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
t분포 계산기는 t 통계량과 자유도로 단측·양측 p값을 구하고, 원하는 신뢰수준의 임계 t값을 알려 줍니다. 모집단 표준편차를 모르고 표본에서 추정해야 하는 상황, 즉 실제 연구의 대부분에서 평균에 대한 t검정과 신뢰구간을 구할 때 쓰는 도구입니다.
계산 방법
- 양측 p값 = 2 × (1 − F(|t|; df))로, 어느 방향이든 관측값만큼 극단적인 t가 나올 확률입니다.
- 단측 p값 = 1 − F(|t|; df)로, 한쪽 꼬리의 넓이입니다.
- 임계 t(양측)는 F(t*; df) = 1 − (1 − C) ÷ 2를 만족하는 t*이며, C는 신뢰수준입니다. 계산기는 수치 탐색으로 이 값을 찾습니다.
F는 t분포의 누적분포함수로, 정규화된 불완전 베타함수로 계산합니다. |t| 바깥의 양측 넓이는 x = df ÷ (df + t²)일 때 I_x(df/2, 1/2)와 같습니다. 자유도는 일표본 검정에서 보통 n − 1, 합동분산 이표본 검정에서 n₁ + n₂ − 2입니다.
원리
표본평균을 참값 σ가 아닌 표본표준편차 s로 표준화하면, s 자체의 불확실성 때문에 극단적인 값이 정규분포의 예상보다 자주 나옵니다. 고셋(W. S. Gosset)이 1908년 'Student'라는 필명으로 정규 모집단에서 이 비율의 정확한 분포를 밝혔습니다. 정규분포처럼 좌우 대칭인 종 모양이지만 꼬리가 더 두껍습니다. 자유도가 커지면 s가 σ를 잘 추정하게 되어 t분포는 표준정규분포에 가까워집니다.
예제 풀이
- 입력값: t = 2.1, 자유도 15, 신뢰수준 95%입니다.
- x = 15 ÷ (15 + 2.1²) = 15 ÷ 19.41 ≈ 0.7728이고, I_x(7.5, 0.5) ≈ 0.05306입니다.
- 양측 p값 ≈ 0.0531, 단측 p값 = 0.05306 ÷ 2 ≈ 0.0265입니다.
- 신뢰수준 95%에서는 F(t*) = 0.975이므로 임계 t ≈ 2.1314입니다.
| t 통계량 | 양측 p |
|---|---|
| 0.525 | 0.607256397 |
| 1.05 | 0.310341515 |
| 1.57 | 0.136108584 |
| 2.1 | 0.0530552562 |
| 2.62 | 0.0191223112 |
| 3.15 | 0.0066063591 |
| 4.2 | 0.0007729033 |
결과 해석
양측 유의수준 0.05에서 예제는 근소하게 유의하지 않습니다. p ≈ 0.053 > 0.05이고 |t| = 2.1이 2.131보다 작습니다. 95% 임계 t값은 자유도가 커질수록 작아져 df = 10에서 약 2.228, 15에서 2.131, 30에서 2.042이며 1.960에 가까워집니다. 단측검정은 자료를 보기 전에 방향을 정해 둔 경우에만 쓸 수 있습니다.
흔한 실수
- 자유도에 n − 1 대신 n을 넣거나 이표본 검정의 자유도를 잘못 쓰는 경우
- 결과의 방향을 본 뒤에 p값을 반으로 나누는 경우
- p = 0.053과 p = 0.047을 정반대의 결론처럼 받아들이는 경우
자주 묻는 질문
z 대신 t는 언제 쓰나요?
σ를 표본에서 추정할 때 t를 씁니다. 자유도가 크면 두 결과는 거의 같습니다.
자유도가 소수여도 되나요?
네. 등분산을 가정하지 않는 Welch t검정은 소수 자유도를 내며, 식은 양의 자유도라면 모두 적용됩니다.
t가 음수이면 p값이 달라지나요?
아닙니다. 분포가 대칭이므로 계산기는 |t|를 사용합니다.
출처: Student (W. S. Gosset), "The probable error of a mean", Biometrika 6(1), 1908 · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.4 t Distribution