홍라이프 계산기원의 접선 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 한 점에서 원에 그은 접선을 구합니다. 원의 중심과 반지름, 점 P를 넣으면 접선의 길이, P에서 중심까지의 거리, 두 접점, 두 접선의 방정식, 두 접선 사이의 각을 보여 줍니다. 좌표기하 과제, CAD, 벨트와 풀리 배치, 시선 문제에 씁니다.
계산 방법
중심 C = (h, k), 반지름 r, C에서 거리 d인 점 P에 대해 다음과 같습니다.
- 접선의 길이 PT = √(d² − r²)
- 접점: T = (h + r·cos(φ ± α), k + r·sin(φ ± α)), φ는 C에서 본 P의 방향, α = arccos(r ÷ d)
- T에서의 접선: (Tx − h)(x − h) + (Ty − k)(y − k) = r², y = mx + b(세로선이면 x = c)로 표시
- 두 접선 사이의 각 = 2·arcsin(r ÷ d)
원 위의 점에서는 접선이 하나, 원 안의 점에서는 없습니다.
원리
접선은 원과 한 점에서만 만나고, 그 점에서 반지름과 수직입니다. 원 밖의 점에서는 중심, 접점, P가 T에서 직각인 직각삼각형을 이룹니다. 빗변은 CP = d, 한 변은 반지름 r이므로 나머지 변인 접선의 길이는 피타고라스 정리로 √(d² − r²)입니다. 이런 삼각형이 직선 CP에 대해 대칭으로 두 개 있으므로, 원 밖의 점에서는 길이가 같은 접선이 항상 두 개입니다.
예제 풀이
기본값은 중심 (0, 0), r = 5, P = (10, 5)입니다.
- d = √(10² + 5²) = √125 ≈ 11.1803
- 접선의 길이 = √(125 − 25) = √100 = 10
- 접점 1 = (0, 5), 접선은 y = 5입니다.
- 접점 2 = (4, −3), 접선은 4x − 3y = 25, 즉 y = 1.33333x − 8.33333입니다.
- 두 접선 사이의 각 = 2·arcsin(5 ÷ 11.1803) ≈ 53.13°
| 점 P: x | 점에서 그은 접선의 길이 |
|---|---|
| 2.5 | 2.5 |
| 5 | 5 |
| 7.5 | 7.5 |
| 10 | 10 |
| 12.5 | 12.5 |
| 15 | 15 |
| 20 | 20 |
결과 해석
한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 각 접점이 중심에서 정확히 r만큼 떨어져 있는지, 접선이 P를 지나는지 확인하십시오. 두 접선 사이의 각이 작으면 P가 원에서 멀리 있다는 뜻이고, P가 원에 가까워질수록 각은 180°에 가까워집니다. 이 예에서 접점 (4, −3)을 접선 4x − 3y = 25에 넣으면 16 + 9 = 25로 맞고, P (10, 5)를 넣어도 40 − 15 = 25로 맞습니다.
흔한 실수
- √(d² − r²) 대신 d + r이나 d − r을 쓰는 경우
- 두 번째 접선을 빠뜨리는 경우
- 접선이 없는 원 안의 점에 공식을 쓰는 경우
- 반지름에 수직인 선이 아니라 중심을 지나는 선을 접선으로 쓰는 경우
자주 묻는 질문
접선은 왜 반지름과 수직인가요?
접점까지의 반지름이 중심에서 직선까지의 가장 짧은 거리이고, 점에서 직선까지의 최단 선분은 그 직선에 수직이기 때문입니다.
한 점에서 그은 두 접선의 길이는 항상 같나요?
네. 두 직각삼각형이 합동이기 때문입니다.
원 위의 점에서 접선은 어떻게 구하나요?
그 점을 지나고 반지름에 수직인 직선으로, (x₀ − h)(x − h) + (y₀ − k)(y − k) = r²입니다.
출처: OpenStax, Prealgebra 2e, §9.3 (Pythagorean theorem); circle tangent–radius theorem (Euclid, Elements, Book III, Proposition 18)