홍라이프 계산기테일러 급수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
테일러 급수는 한 점에서의 도함수 값들을 이용해 함수를 무한히 긴 다항식으로 나타낸 것입니다. 이 계산기는 eˣ, sin x, cos x, ln(1 + x)의 매클로린 급수(0을 중심으로 한 테일러 급수)를 원하는 항의 개수만큼 더한 뒤 정확한 값과 비교해 줍니다. 급수가 얼마나 빨리 수렴하는지 확인하고, 계산기와 컴퓨터가 함수값을 구하는 원리를 이해하는 데 도움이 됩니다.
계산 방법
다음 급수에서 0이 아닌 항을 처음부터 k개 더합니다.
- eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … = Σ xⁿ/n!
- sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
- cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
- ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …이며 −1 < x ≤ 1에서만 성립합니다.
sin과 cos의 x는 라디안 단위입니다. 오차는 |급수값 − 정확한 값|입니다.
원리
테일러 다항식은 중심점에서 함숫값과 여러 계 도함수 값이 원래 함수와 같도록 만든 다항식이며, 일반항은 f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!입니다. eˣ는 몇 번을 미분해도 eˣ이고 0에서의 값이 1이므로 모든 계수가 1/n!입니다. sin과 cos는 미분할 때마다 sin, cos, −sin, −cos가 순환하므로 홀수 차수 또는 짝수 차수 항만 부호를 바꿔 가며 나타납니다. 맞추는 도함수가 많을수록 다항식이 더 넓은 범위에서 곡선과 가까워집니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 함수 eˣ, x = 0.5, 항의 개수 6입니다.
- 각 항은 1, 0.5, 0.125, 0.0208333, 0.0026042, 0.0002604입니다.
- 합은 1.648697917입니다.
- 정확한 값은 e^0.5 = 1.648721271입니다.
- 오차는 0.000023354입니다. 생략된 첫 항 0.5⁶/720 ≈ 0.0000217과 비슷한 크기입니다.
| x | 급수 값 |
|---|---|
| 0.125 | 1.133148448 |
| 0.25 | 1.284025065 |
| 0.375 | 1.454987335 |
| 0.5 | 1.648697917 |
| 0.625 | 1.868155162 |
| 0.75 | 2.116723633 |
| 1 | 2.716666667 |
결과 해석
오차를 보면 부분합이 몇 자리까지 맞는지 알 수 있으며, 이 예는 소수 넷째 자리 정도까지 정확합니다. |x|가 작을수록 빨리 수렴하고, 클수록 더 많은 항이 필요합니다. ln(1 + x)는 x = 1 근처에서 매우 느리게 수렴하고, x > 1이나 x ≤ −1이면 발산하여 항을 늘릴수록 오차가 커집니다.
흔한 실수
- sin, cos에 도 단위를 넣는 실수입니다. 30은 30°가 아니라 30라디안입니다.
- ln(1 + x)에 수렴 범위 밖의 x를 넣는 경우입니다.
- 항의 개수를 차수로 착각하는 경우입니다. sin x의 6항은 x¹¹까지입니다.
자주 묻는 질문
테일러 급수와 매클로린 급수는 어떻게 다른가요?
매클로린 급수는 중심이 0인 테일러 급수입니다. 테일러 급수는 임의의 점 a를 중심으로 (x − a)의 거듭제곱을 씁니다.
모든 함수를 테일러 급수로 나타낼 수 있나요?
중심에서 모든 계의 도함수가 있어야 하며, 그렇더라도 중심에서 먼 곳에서는 급수가 함수와 같지 않을 수 있습니다.
ln(1 + x)는 왜 x = 1.5에서 맞지 않나요?
수렴반경이 1이기 때문입니다. 중심 0에서 거리 1인 x = −1에서 ln(1 + x)가 정의되지 않습니다.
출처: Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, §11.10 · NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.6, §4.19 (dlmf.nist.gov)