홍라이프 계산기사면체 부피 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정사면체는 한 모서리 길이로, 일반 사면체는 네 꼭짓점의 좌표로 부피를 구합니다. 정사면체에서는 겉넓이, 높이, 내접구·외접구 반지름도 구하고, 꼭짓점 입력에서는 각 면의 넓이, 높이, 중심도 알려 줍니다. 입체도형, 3D 모델링, 메시 분석, 화학(사면체 분자), 벡터 미적분에 씁니다.
계산 방법
모서리 a인 정사면체는 다음과 같습니다.
- 부피 V = a³ ÷ (6√2), 겉넓이 √3·a², 높이 a·√(2/3)
- 외접구 반지름 a·√6 ÷ 4, 내접구 반지름 a ÷ √24
꼭짓점 P₀…P₃인 일반 사면체는 다음과 같습니다.
- u = P₁ − P₀, v = P₂ − P₀, w = P₃ − P₀, V = |u · (v × w)| ÷ 6
- 각 면의 넓이는 외적 길이의 절반, P₃에서의 높이 = 3V ÷ 면 P₀P₁P₂의 넓이, 내접구 반지름 = 3V ÷ 전체 겉넓이
네 점이 한 평면 위에 있으면 V = 0으로 사면체가 아닙니다.
원리
스칼라 삼중곱 u · (v × w)는 세 모서리 벡터로 만든 평행육면체의 부피입니다. 사면체는 밑면이 삼각형인 각뿔이므로 부피는 밑넓이 × 높이의 3분의 1이고, 밑면은 평행사변형의 절반이므로 결국 평행육면체의 6분의 1이 됩니다. 정사면체는 밑면이 넓이 (√3/4)a²인 정삼각형이고 높이가 a√(2/3)이므로, 그 곱의 3분의 1을 정리하면 a³ ÷ (6√2)입니다.
예제 풀이
기본값은 정사면체, 모서리 a = 6입니다.
- 부피 = 216 ÷ (6√2) = 36 ÷ √2 ≈ 25.4558
- 겉넓이 = √3 × 36 ≈ 62.3538
- 높이 = 6 × √(2/3) ≈ 4.89898
- 내접구 반지름 = 6 ÷ √24 ≈ 1.22474
- 외접구 반지름 = 6√6 ÷ 4 ≈ 3.67423
| 모서리 길이 a (정사면체) | 부피 |
|---|---|
| 1.5 | 0.397748 |
| 3 | 3.18198 |
| 4.5 | 10.7392 |
| 6 | 25.4558 |
| 7.5 | 49.7184 |
| 9 | 85.9135 |
| 12 | 203.647 |
결과 해석
부피는 입력 단위의 세제곱, 넓이는 제곱입니다. 정사면체에서 외접구 반지름은 내접구 반지름의 정확히 3배, 높이는 4배이므로 검산에 쓸 수 있습니다. 이 예에서도 1.22474 × 3 ≈ 3.67423, 1.22474 × 4 ≈ 4.89898입니다. 일반 꼭짓점에서 부피가 0에 가까우면 네 점이 거의 한 평면 위에 있다는 뜻입니다.
흔한 실수
- 벡터 공식에서 6으로 나누는 것을 잊는 경우
- 모서리 길이를 높이로 쓰는 경우
- 삼중곱의 절댓값을 취하지 않아 부피가 음수로 나오는 경우
- 한 평면 위의 네 점을 넣는 경우
자주 묻는 질문
정사면체의 부피를 각뿔 공식으로도 구할 수 있나요?
네. 밑넓이 (√3/4) × 36 ≈ 15.588에 높이 4.89898을 곱하고 3으로 나누면 약 25.4558로 같습니다.
모서리가 1인 정사면체의 부피는 얼마인가요?
1 ÷ (6√2) ≈ 0.11785입니다.
삼중곱을 왜 6으로 나누나요?
같은 세 모서리로 만든 평행육면체의 6분의 1이 사면체이기 때문입니다.
사면체의 면, 모서리, 꼭짓점은 몇 개인가요?
면 4개, 모서리 6개, 꼭짓점 4개입니다.
출처: OpenStax, Calculus Volume 3 (2016), §2.4 The Cross Product (triple scalar product and parallelepiped volume)