홍라이프 계산기원환체(토러스) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
원환체(토러스)는 원을 그 원과 같은 평면에 있으면서 원과 만나지 않는 축을 중심으로 한 바퀴 돌려 만든 도넛 모양의 입체입니다. 구멍의 중심에서 관의 중심까지 거리인 큰 반지름 R과 관 자체의 반지름인 작은 반지름 r, 두 값으로 모양이 정해집니다. 이 계산기는 부피와 겉넓이를 구하며, O링, 튜브, 링 모양 탱크, 구명 튜브, 토로이드 변압기 철심의 크기를 따질 때 쓰입니다.
계산 방법
- 부피: V = 2π²Rr²입니다.
- 겉넓이: A = 4π²Rr입니다.
두 입력값은 같은 길이 단위로 넣으며, 부피는 세제곱 단위, 겉넓이는 제곱 단위로 나옵니다. 바깥 지름은 2(R + r), 구멍의 지름은 2(R − r)입니다.
원리
두 공식은 파푸스의 중심 정리에서 나옵니다. 평면도형을 바깥의 축 둘레로 회전시키면 생기는 회전체의 부피는 도형의 넓이에 도형의 무게중심이 움직인 거리를 곱한 값과 같습니다. 원환체에서는 넓이 πr²인 원의 중심이 길이 2πR인 원을 그리므로 V = πr² × 2πR = 2π²Rr²입니다. 곡선에 대한 정리도 같은 방식이어서 겉넓이는 원둘레 2πr에 중심이 움직인 거리 2πR을 곱한 4π²Rr입니다.
직관적으로는 도넛을 한 곳에서 잘라 곧게 펴면 반지름 r, 길이 2πR인 원기둥이 된다고 생각하면 됩니다. 안쪽은 눌리고 바깥쪽은 늘어나는데, 그 양이 정확히 상쇄되므로 원기둥 공식이 그대로 정답이 됩니다.
예제 풀이
- 입력값: R = 5, r = 1입니다.
- π² ≈ 9.8696044입니다.
- 부피: 2 × 9.8696044 × 5 × 1² ≈ 98.69604401입니다.
- 겉넓이: 4 × 9.8696044 × 5 × 1 ≈ 197.392088입니다.
- 원기둥으로 검산하면 단면 넓이 π ≈ 3.1416, 중심선 길이 2π × 5 ≈ 31.416이고 곱은 약 98.696입니다.
| 작은 반지름 r | 부피 |
|---|---|
| 0.25 | 6.168502751 |
| 0.5 | 24.674011 |
| 0.75 | 55.51652476 |
| 1 | 98.69604401 |
| 1.25 | 154.2125688 |
| 1.5 | 222.066099 |
| 2 | 394.784176 |
결과 해석
부피는 R에 비례하고 r의 제곱에 비례하므로 링을 넓히는 것보다 관을 굵게 하는 쪽이 부피를 훨씬 빠르게 늘립니다. r을 두 배로 하면 부피는 네 배, R을 두 배로 하면 두 배가 됩니다. 겉넓이는 R과 r에 각각 비례합니다. 예제의 바깥 지름은 12, 구멍 지름은 8입니다. 결과가 cm³라면 1,000으로 나누어 리터로 바꿀 수 있습니다.
흔한 실수
- 반지름 대신 지름을 넣는 경우입니다. 부피가 여덟 배로 커집니다.
- R을 관의 중심이 아니라 바깥 가장자리까지 재는 경우입니다. 바깥 지름 D와 구멍 지름 d를 알면 R = (D + d) ÷ 4, r = (D − d) ÷ 4입니다.
- r을 R보다 크게 넣는 경우입니다. 스스로 겹치는 모양이 되어 겹친 부분이 두 번 계산됩니다.
자주 묻는 질문
실제 링에서 R과 r은 어떻게 재나요?
바깥 지름 D와 구멍 지름 d를 잰 뒤 r = (D − d) ÷ 4, R = (D + d) ÷ 4로 구합니다. D = 12, d = 8이면 r = 1, R = 5입니다.
원환체의 부피는 구부린 원기둥과 같나요?
네, 정확히 같습니다. 파푸스의 정리에 따라 반지름 r, 길이 2πR인 원기둥과 부피가 같습니다.
O링의 부피는 어떻게 구하나요?
r은 단면 굵기의 절반, R은 안쪽 반지름에 r을 더한 값으로 놓고 원환체 공식을 쓰면 됩니다.
출처: Pappus of Alexandria, Collection, Book VII (centroid theorems for solids and surfaces of revolution) · J. Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Cengage, section on volumes of revolution and Pappus's theorem