홍라이프 계산기사다리꼴 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
사다리꼴은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형으로, 평행한 두 변을 윗변 a와 아랫변 b, 두 변 사이의 수직 거리를 높이 h라고 합니다. 이 계산기는 넓이와 함께 평행하지 않은 두 변(옆변)의 중점을 이은 선분, 즉 중점연결선의 길이를 구합니다. 땅의 모양, 지붕면, 옹벽, 수로나 제방의 단면처럼 실생활에서 자주 보이며, 곡선 아래 넓이를 어림하는 사다리꼴 공식의 바탕이기도 합니다.
계산 방법
- 넓이: S = (a + b) ÷ 2 × h
- 중점연결선: m = (a + b) ÷ 2
따라서 넓이는 중점연결선 × 높이와 같습니다. 윗변, 아랫변, 높이는 같은 단위로 넣어야 하며 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다. 비스듬한 옆변의 길이는 넓이에 전혀 영향을 주지 않습니다.
원리
대각선을 하나 그으면 사다리꼴은 높이가 h로 같은 두 삼각형으로 나뉩니다. 하나는 밑변이 a, 다른 하나는 b이므로 넓이는 ½ah + ½bh = ½(a + b)h입니다. 또는 똑같은 사다리꼴을 뒤집어 옆에 붙이면 밑변 a + b, 높이 h인 평행사변형이 되므로 사다리꼴 하나는 그 절반입니다. 중점연결선은 두 밑변과 평행하고 길이는 두 밑변의 평균이므로, 사다리꼴은 가로 m, 세로 h인 직사각형과 넓이가 같습니다. 한 밑변이 0이 되면 삼각형 공식 ½bh가, 두 밑변이 같으면 평행사변형 공식 bh가 됩니다.
예제 풀이
- 입력값은 a = 10, b = 6, h = 4입니다.
- 중점연결선은 (10 + 6) ÷ 2 = 8입니다.
- 넓이는 8 × 4 = 32입니다.
| 높이 | 넓이 |
|---|---|
| 1 | 8 |
| 2 | 16 |
| 3 | 24 |
| 4 | 32 |
| 5 | 40 |
| 6 | 48 |
| 8 | 64 |
결과 해석
중점연결선은 도형의 평균 폭이므로 넓이는 짧은 밑변으로 만든 직사각형(6 × 4 = 24)과 긴 밑변으로 만든 직사각형(10 × 4 = 40) 사이에 있어야 합니다. 수치적분의 사다리꼴 공식은 곡선 아래를 가는 사다리꼴로 잘라 더하는 방법이며, 조각을 좁게 할수록 오차가 줄어듭니다.
흔한 실수
- 비스듬한 옆변의 길이를 높이로 쓰는 경우입니다.
- 두 밑변을 더한 뒤 2로 나누는 것을 잊는 경우입니다.
- 평행한 변이 없는 사각형을 사다리꼴로 계산하는 경우입니다. 이때는 삼각형으로 나누어 구하십시오.
자주 묻는 질문
넓이로 높이를 구하려면요?
h = 2S ÷ (a + b)입니다. 넓이 32, 두 밑변이 10과 6이면 h = 4입니다.
등변사다리꼴의 옆변으로 높이를 구하려면요?
옆변 c, 높이, 두 밑변 차의 절반이 직각삼각형을 이루므로 h = √(c² − ((a − b)/2)²)입니다.
평행사변형도 사다리꼴인가요?
우리나라 교과서의 정의(평행한 변이 한 쌍이라도 있는 사각형)를 따르면 평행사변형도 사다리꼴에 포함됩니다.
출처: Euclid, Elements, Book I, Propositions 35 and 38 (parallelograms and triangles on equal bases between the same parallels) · R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis, Cengage (trapezoidal rule)