삼각형 계산기 (세 변 → 각도·넓이)

삼각형 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

세 변의 길이를 알면 이 계산기로 삼각형의 넓이, 세 각, 둘레, 예각·직각·둔각 여부, 부등변·이등변·정삼각형 여부, 내접원과 외접원의 반지름을 한꺼번에 구할 수 있습니다. 기하 문제 풀이는 물론 변의 길이만 잰 땅의 넓이 계산, 목공 작업, 모서리가 직각인지 확인할 때 유용합니다.

계산 방법

• 성립 조건: 어느 한 변도 나머지 두 변의 합보다 짧아야 합니다(삼각형의 성립 조건).
• 둘레의 절반: s = (a + b + c) ÷ 2
• 넓이(헤론의 공식): K = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
• 각(코사인법칙): cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), cos B = (a² + c² − b²) ÷ (2ac), C = 180° − A − B. 각 A는 변 a의 맞은편 각입니다.
• 각에 따른 분류: 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같으면 직각, 크면 둔각, 작으면 예각삼각형입니다.
• 내접원 반지름 r = K ÷ s, 외접원 반지름 R = abc ÷ (4K)

세 변은 같은 단위로 입력하며, 넓이는 그 단위의 제곱입니다.

원리

코사인법칙 c² = a² + b² − 2ab cos C는 피타고라스 정리를 일반화한 식입니다. C = 90°이면 보정항 −2ab cos C가 0이 되고, 둔각이면 양수, 예각이면 음수가 됩니다. 그래서 c²과 a² + b²을 비교해 삼각형을 분류할 수 있습니다. 헤론의 공식은 넓이 = ½ab sin C에 코사인법칙을 대입해 인수분해한 결과로, 세 변만으로 넓이를 구하게 해 줍니다. 내접원 반지름은 삼각형을 높이가 r인 작은 삼각형 세 개로 나누면 K = r·s가 되는 데서 나옵니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값은 a = 3, b = 4, c = 5입니다.
2. s = 6이고 넓이는 √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6입니다.
3. cos A = 32 ÷ 40 = 0.8이므로 A = 36.86989765°, cos B = 18 ÷ 30 = 0.6이므로 B = 53.13010235°, C = 90°입니다.
4. 둘레는 12입니다.
5. 5² = 3² + 4²이고 세 변이 모두 다르므로 부등변 직각삼각형(scalene, right)입니다.
6. r = 6 ÷ 6 = 1, R = 60 ÷ 24 = 2.5입니다.

결과 해석

직각삼각형에서는 빗변이 외접원의 지름이므로 외접원 반지름이 빗변의 절반(5 ÷ 2)이 됩니다. 변의 길이에 비해 넓이가 아주 작으면 거의 납작한 삼각형입니다. 가장 큰 각은 언제나 가장 긴 변의 맞은편에 있습니다.

흔한 실수

• 2, 3, 6처럼 삼각형이 될 수 없는 세 변을 입력하는 경우입니다.
• 변마다 단위(m와 cm)를 섞어 쓰는 실수입니다.
• 각과 변의 대응을 잘못 읽는 실수입니다. A는 a의 맞은편 각입니다.

자주 묻는 질문

모서리가 직각인지 어떻게 확인하나요?

3-4-5 방법을 씁니다. 한 변으로 3, 다른 변으로 4만큼 재었을 때 대각선이 정확히 5이면 직각입니다.

두 변과 끼인각을 알 때 넓이는요?

넓이 = ½ab sin C로 구합니다.

3, 4, 5를 왜 피타고라스 수라고 하나요?

자연수 세 변이 a² + b² = c²을 만족하기 때문입니다. 5-12-13, 8-15-17도 있습니다.

출처: Heath, T. L. (trans.), The Thirteen Books of Euclid's Elements, Book II, Propositions 12–13 · 교육부, 2022 개정 수학과 교육과정(대수: 삼각함수, 사인법칙과 코사인법칙)