홍라이프 계산기삼각형 결정 조건 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 세 길이로 삼각형을 만들 수 있는지 삼각형의 변의 길이 조건(삼각부등식)으로 확인합니다. 세 가지 조건 각각, 셋째 변이 될 수 있는 범위, 삼각형의 종류, 둘레, 넓이를 보여 줍니다. 기하 과제, 설계와 시공 점검, 퍼즐에 씁니다.
계산 방법
- 세 조건: a + b > c, a + c > b, b + c > a. 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변보다 크면 충분합니다.
- 합이 가장 긴 변과 정확히 같으면 넓이가 0인 납작한 선이 되어 삼각형이 아닙니다.
- 두 변 a, b가 주어질 때 셋째 변의 범위: |a − b| < c < a + b
- 변에 따른 분류: 정삼각형, 이등변삼각형, 부등변삼각형
- 각에 따른 분류(c가 가장 긴 변): c² < a² + b²이면 예각, 같으면 직각, 크면 둔각
- 넓이는 헤론 공식 A = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c)/2
원리
두 점 사이의 가장 짧은 길은 선분입니다. 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 나머지 두 변을 따라가는 것은 돌아가는 길이므로 직접 잇는 변보다 길어야 합니다. 이것이 유클리드가 원론 1권 명제 20에서 증명한 삼각부등식입니다. 짧은 두 변의 합이 가장 긴 변과 같으면 두 변이 긴 변 위에 납작하게 겹쳐 사이에 공간이 없습니다. 각의 종류는 코사인 법칙 c² = a² + b² − 2ab·cos C에서 나오며, c²이 a² + b²보다 크면 cos C가 음수, 즉 C가 둔각입니다.
예제 풀이
기본값은 a = 5, b = 7, c = 10입니다.
- 5 + 7 = 12 > 10 ✓, 5 + 10 = 15 > 7 ✓, 7 + 10 = 17 > 5 ✓이므로 삼각형을 만들 수 있습니다.
- 5와 7이 주어질 때 셋째 변의 범위: 2 < c < 12
- 세 변이 모두 달라 부등변삼각형이고, 10² = 100 > 5² + 7² = 74이므로 둔각삼각형입니다.
- 둘레 = 22, s = 11
- 넓이 = √(11 × 6 × 4 × 1) = √264 ≈ 16.2481
결과 해석
조건 하나라도 맞지 않으면 그 길이로는 삼각형을 만들 수 없습니다. 셋째 변의 범위는 두 변이 정해졌을 때 가능한 길이를 알려 줍니다. 범위의 끝에 가까운 삼각형은 매우 납작해 넓이가 작고, 실제 구조물에서는 강성이 약할 수 있습니다. 이 예처럼 둔각삼각형이면 가장 긴 변의 맞은편 각이 90°보다 크다는 뜻입니다.
흔한 실수
- 가장 긴 변에 대한 조건 대신 다른 조건 하나만 확인하는 경우
- 합이 가장 긴 변과 같은데 삼각형이라고 보는 경우
- 실제 삼각형인데 > 대신 ≥를 쓰는 경우
- 세 변의 단위를 섞는 경우
자주 묻는 질문
3, 4, 8로 삼각형을 만들 수 있나요?
없습니다. 3 + 4 = 7이 8보다 작기 때문입니다.
두 변이 5와 7이면 셋째 변의 범위는 어떻게 되나요?
2보다 크고 12보다 작아야 합니다.
삼각부등식은 벡터에도 적용되나요?
네. |u + v| ≤ |u| + |v|는 벡터의 길이에 대한 같은 원리입니다.
출처: Euclid, Elements, Book I, Proposition 20 · Weisstein, E. W., "Heron's Formula", Wolfram MathWorld