홍라이프 계산기삼각수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 n번째 삼각수, 그 앞의 삼각수, 둘을 더한 제곱수를 구하고, 어떤 자연수가 삼각수인지 판별해 몇 번째인지 또는 가장 가까운 삼각수를 알려 줍니다. 수의 규칙, 퍼즐, 악수 횟수나 볼링 핀 세기, 수학 경시대회에 씁니다.
계산 방법
- Tₙ = 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2
- Tₙ + Tₙ₋₁ = n²
- 판별: 8x + 1이 완전제곱수일 때만 x가 삼각수입니다. 8Tₙ + 1 = (2n + 1)²이기 때문입니다.
- 위치: k = (√(8x + 1) − 1) ÷ 2. k가 정수가 아니면 x는 T⌊k⌋와 그다음 삼각수 사이에 있습니다.
10¹⁵까지는 정수 연산으로 정확히 판별합니다.
원리
삼각수는 한 줄에 1, 2, 3, …개씩 점을 삼각형으로 놓았을 때의 점 개수입니다. 같은 삼각형 두 개를 하나는 뒤집어 맞붙이면 n × (n + 1) 직사각형이 되므로 합의 두 배는 n(n + 1)입니다. 어린 가우스가 1부터 100까지 더할 때 썼다고 전해지는 방법입니다. 이웃한 두 삼각형을 합치면 정사각형이 되므로 Tₙ + Tₙ₋₁ = n²입니다. x = k(k + 1)/2를 근의 공식으로 k에 대해 풀면 8x + 1을 이용한 판별법이 나옵니다.
예제 풀이
기본값은 n = 10, 판별할 수 5,050입니다.
- T₁₀ = 10 × 11 ÷ 2 = 55
- T₉ = 45이고 55 + 45 = 100 = 10²입니다.
- 5,050 판별: 8 × 5,050 + 1 = 40,401 = 201²
- k = (201 − 1) ÷ 2 = 100이므로 5,050 = T₁₀₀, 삼각수입니다.
결과 해석
Tₙ은 'n + 1명이 서로 한 번씩 악수하면 몇 번인가'(Tₙ번), '4줄로 세운 볼링 핀은 몇 개인가'(T₄ = 10개) 같은 질문에 답합니다. 판별에서 '아니요'가 나오면 양쪽의 삼각수를 함께 보여 주어 얼마나 가까운지 알 수 있습니다. 삼각수의 차는 1, 2, 3, …처럼 하나씩 커지므로, 계차수열을 배울 때 대표적인 예로도 쓰입니다.
흔한 실수
- n(n + 1) ÷ 2 대신 n² ÷ 2를 쓰는 경우
- n명의 악수 횟수를 Tₙ으로 세는 경우(Tₙ₋₁ = n(n − 1)/2입니다)
- 수열을 T₁ = 0으로 시작하는 경우(T₀ = 0, T₁ = 1입니다)
- 8x + 1의 반올림한 제곱근으로 판별하는 경우
자주 묻는 질문
삼각수는 실생활에서 어디에 나오나요?
볼링 핀(10개 = T₄), 당구공을 삼각형 틀에 채운 수(15개 = T₅), 리그전 경기 수처럼 모든 쌍을 한 번씩 세는 상황에 나옵니다.
처음 몇 개의 삼각수는 무엇인가요?
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55입니다.
1부터 100까지의 합은 얼마인가요?
T₁₀₀ = 100 × 101 ÷ 2 = 5,050입니다.
삼각수이면서 제곱수인 수가 있나요?
네. 1, 36, 1,225 등이 있으며 무한히 많습니다.
출처: Weisstein, E. W., "Triangular Number", Wolfram MathWorld