홍라이프 계산기삼각측량 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 거리를 아는 두 관측점에서 각 관측자가 기선과 목표까지의 시선 사이 각을 재어 목표의 위치를 구합니다. 두 관측점에서 목표까지의 거리, 기선에서 목표까지의 수직 거리(예: 항공기 고도), 목표에서의 각, 수선의 발 위치, 삼각형 넓이를 보여 줍니다. 측량 실습, 항해, 레이더, 삼각함수 과제에 씁니다.
계산 방법
기선 b, A에서의 각 α, B에서의 각 β에 대해 다음과 같습니다.
- 목표에서의 각 γ = 180° − α − β
- 사인 법칙: AT = b·sin β ÷ sin γ, BT = b·sin α ÷ sin γ
- 수직 거리 d = AT·sin α = b·sin α·sin β ÷ sin(α + β)
- A에서 수선의 발까지 = AT·cos α
- 넓이 = ½·b·d
두 각은 기선의 같은 쪽에서 잽니다.
원리
삼각형은 한 변과 그 양 끝의 두 각으로 정해집니다(ASA 합동). 세 각의 합은 180°이므로 세 번째 각이 나옵니다. 사인 법칙은 각 변이 마주 보는 각의 사인에 비례한다는 것이므로, b와 그 맞은편 각 γ를 알면 다른 변을 구할 수 있습니다. 먼 거리를 직접 재는 대신 각을 재는 이 방법은 수백 년 동안 국가 측량의 바탕이었고, 지금도 항해와 위치 측정에 쓰입니다.
예제 풀이
기본값은 b = 20(예: 마일), α = 15°, β = 35°입니다.
- γ = 180° − 15° − 35° = 130°
- AT = 20 × sin 35° ÷ sin 130° ≈ 20 × 0.5736 ÷ 0.7660 ≈ 14.975
- BT = 20 × sin 15° ÷ sin 130° ≈ 6.75729
- 수직 거리 d = 14.975 × sin 15° ≈ 3.87582
- A에서 수선의 발까지 = 14.975 × cos 15° ≈ 14.4648, 넓이 = ½ × 20 × 3.87582 ≈ 38.7582
| 관측자 A와 B 사이 기선 길이 | 기선에서 목표까지의 수직 거리 |
|---|---|
| 5 | 0.968955 |
| 10 | 1.93791 |
| 15 | 2.90686 |
| 20 | 3.87582 |
| 25 | 4.84477 |
| 30 | 5.81373 |
| 40 | 7.75164 |
결과 해석
모든 길이는 기선과 같은 단위입니다. 레이더 예에서 항공기는 첫째 기지에서 약 15마일, 고도 약 3.9마일에 있습니다. 목표에서의 각이 아주 작으면(두 시선이 거의 평행하면) 작은 각 오차로도 거리 오차가 커지므로, 기선을 길게 잡을수록 결과가 믿을 만합니다. 같은 원리로 강 건너 나무까지의 거리처럼 직접 갈 수 없는 곳의 거리도 구할 수 있습니다.
흔한 실수
- 한 각을 기선의 다른 끝이나 반대쪽에서 재는 경우
- 두 각의 합이 180° 이상이어서 삼각형이 생기지 않는 경우
- A의 각과 B의 각을 바꿔 AT와 BT가 뒤바뀌는 경우
- 도 단위 각을 라디안으로 처리하는 경우
자주 묻는 질문
삼각측량과 삼변측량은 어떻게 다른가요?
삼각측량은 각을, 삼변측량은 GPS처럼 거리를 재서 위치를 구합니다.
여기서 왜 사인 법칙을 쓰나요?
한 변과 세 각을 모두 알고 있어 사인 법칙이 필요로 하는 정보가 갖춰졌기 때문입니다.
오차를 줄이려면 어떻게 하나요?
기선을 길게 하고 목표에서의 각이 너무 작지 않게 하십시오.
출처: OpenStax, Precalculus 2e (2021), §8.1 Non-right Triangles: Law of Sines