배각·반각 공식 계산기

배각·반각 공식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

배각 공식과 반각 공식은 2θ와 θ/2의 삼각함수를 θ의 삼각함수로 나타냅니다. 이 계산기는 도(°) 단위 각 θ를 받아 2θ와 θ/2의 sin, cos, tan을 구해 줍니다. 항등식 검산, sin 15° 같은 정확한 값 구하기, 적분 식 정리, 포물선 운동의 도달거리 같은 물리 문제에 쓰입니다.

계산 방법

• sin 2θ = 2 sin θ cos θ
• cos 2θ = cos²θ − sin²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
• tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)
• sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) ÷ 2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) ÷ 2)
• tan(θ/2) = sin θ ÷ (1 + cos θ) = (1 − cos θ) ÷ sin θ

각을 라디안(θ × π ÷ 180)으로 바꾼 뒤 함수를 직접 계산하므로 부호는 항상 올바르게 나옵니다.

원리

모든 공식은 덧셈정리 sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b, cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b에서 나옵니다. a = b = θ로 두면 배각 공식이 됩니다. cos 2x = 1 − 2sin²x, cos 2x = 2cos²x − 1을 sin x, cos x에 대해 풀고 x = θ/2를 넣으면 반각 공식이 됩니다. ± 부호는 θ/2가 속한 사분면에 따라 정해지는데, tan(θ/2) = sin θ ÷ (1 + cos θ)는 부호가 저절로 맞게 나와 편리합니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값은 θ = 30°이며 sin θ = 0.5, cos θ = 0.8660254입니다.
2. sin 60° = 2 × 0.5 × 0.8660254 = 0.8660254038입니다.
3. cos 60° = 0.75 − 0.25 = 0.5입니다.
4. tan 60° = 0.8660254 ÷ 0.5 = 1.732050808(= √3)입니다.
5. sin 15° = √((1 − 0.8660254) ÷ 2) = 0.2588190451입니다.
6. cos 15° = √((1 + 0.8660254) ÷ 2) = 0.9659258263입니다.
7. tan 15° = 0.5 ÷ 1.8660254 = 0.2679491924(= 2 − √3)입니다.

결과 해석

정확한 값도 알아 두시면 좋습니다. sin 15° = (√6 − √2)/4, cos 15° = (√6 + √2)/4, tan 15° = 2 − √3입니다. sin 2θ는 sin θ보다 진동수가 두 배인 파동입니다. tan 2θ가 매우 큰 수로 나오면 2θ가 90°나 270° 근처라 탄젠트가 정의되지 않는 지점에 가깝다는 뜻입니다.

흔한 실수

• sin 2θ = 2 sin θ로 계산하는 경우입니다. sin 60°는 1이 아니라 0.866입니다.
• 반각 공식의 ±를 잊고 부호를 잘못 고르는 경우입니다.
• tan θ = ±1(θ = 45° + 90°k)일 때 tan 2θ 공식을 쓰는 경우입니다. 분모가 0이 됩니다.

자주 묻는 질문

sin 22.5°의 정확한 값은 어떻게 구하나요?

θ = 45°를 넣으면 sin 22.5° = √((1 − √2/2) ÷ 2) = √(2 − √2)/2 ≈ 0.3827입니다.

포물선 운동의 도달거리에 왜 sin 2θ가 나오나요?

공기 저항을 무시하면 수평 도달거리는 v² sin 2θ ÷ g이며, 2 sin θ cos θ에서 나온 식이라 θ = 45°에서 가장 큽니다.

3배각 공식은 무엇인가요?

sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ, cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ입니다.

출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.21 (identities for trigonometric functions) · Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §4.3