홍라이프 계산기진리표 생성기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 도구는 논리식의 진리표를 만들고, 그 식이 항진명제인지, 모순명제인지, 둘 다 아닌지 알려 줍니다. 모든 행, 결과 열, 참인 행의 수와 번호를 보여 줍니다. 논리학과 이산수학 수업, 디지털 회로 설계, 프로그래밍 조건문, 논증 검토에 씁니다.
계산 방법
- 변수가 n개면 행은 2ⁿ개이며, 모두 참(T)부터 모두 거짓(F)까지, 첫 변수가 가장 느리게 바뀝니다.
- ¬p는 p가 거짓일 때 참, p ∧ q는 둘 다 참일 때만 참, p ∨ q는 하나 이상 참이면 참, p ⊕ q는 정확히 하나만 참일 때 참입니다.
- p → q는 p가 참이고 q가 거짓일 때만 거짓, p ↔ q는 둘의 값이 같을 때 참입니다.
- 결합 순서: ¬, 그다음 ∧, 그다음 ∨와 ⊕, 그다음 →, 마지막 ↔. →는 오른쪽부터 묶습니다. 괄호로 분명히 하십시오.
모든 행에서 참이면 항진명제, 모든 행에서 거짓이면 모순명제입니다.
원리
합성명제의 참거짓은 구성 명제의 참거짓에만 달려 있습니다. 그래서 모든 조합을 나열하면 가능한 모든 상황을 다룬 셈이고, 곱의 법칙에 따라 조합은 2 × 2 × … = 2ⁿ개입니다. 각 행은 산술처럼 안쪽부터 계산합니다. 항진명제는 사실과 상관없이 논리적 형식만으로 참인 명제입니다. 두 식의 결과 열이 모든 행에서 같으면 두 식은 논리적으로 동치입니다.
예제 풀이
기본 식은 (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)입니다.
- 변수가 세 개이므로 2³ = 8행입니다.
- T T T 행: p → q = T, q → r = T, p → r = T이므로 전체는 T입니다.
- T F T 행: p → q = F라서 왼쪽이 F이고, F → (무엇이든)은 T입니다.
- T T F 행: q → r = F라서 왼쪽이 F이므로 결과는 T입니다.
- 모든 행이 참(TTTTTTTT, 8개 중 8개)이므로 항진명제, 항상 참입니다. 이는 가언삼단논법(함의의 추이성)입니다.
결과 해석
항진명제는 타당한 추론 규칙입니다. 모순명제는 결코 참이 될 수 없습니다. 그 밖의 경우는 사실에 따라 달라지며, 참인 행이 어떤 상황에서 성립하는지 정확히 알려 줍니다. 두 식이 동치인지 확인하려면 A ↔ B를 넣어 항진명제인지 보면 됩니다. 프로그래밍에서는 복잡한 조건문을 간단한 식으로 바꿀 때 두 식의 진리표가 같은지 확인하는 용도로 쓸 수 있습니다.
흔한 실수
- p가 거짓일 때 p → q를 거짓으로 보는 경우(가정이 거짓인 조건문은 참입니다)
- 포함적 또는(∨)과 배타적 또는(⊕)을 혼동하는 경우
- 특히 →와 ↔에서 괄호 대신 우선순위에 기대는 경우
- →가 대칭이 아니라는 점을 잊는 경우(p → q와 q → p는 다릅니다)
자주 묻는 질문
변수가 4개인 진리표는 몇 행인가요?
2⁴ = 16행입니다.
'거짓이면 무엇이든'은 왜 참인가요?
조건문은 가정이 참일 때만 무언가를 약속하므로, 가정이 거짓이면 약속이 깨지지 않기 때문입니다.
두 명제가 동치임을 어떻게 보이나요?
결과 열이 모든 행에서 같아야 하며, A ↔ B가 항진명제인 것과 같은 말입니다.
출처: OpenStax, Contemporary Mathematics (2023), §2.2 Compound Statements and §2.3 Constructing Truth Tables