홍라이프 계산기두 봉투 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 두 봉투 역설을 살펴봅니다. 한 봉투에는 다른 봉투의 두 배가 들어 있고, 하나를 열어 금액 A를 보았을 때 바꿔야 할까요? 순진한 '항상 바꿔라' 논증과, 내가 작은 쪽을 들고 있을 확률에 대한 실제 믿음에 근거한 기대값을 비교합니다. 확률 수업, 의사결정 이론, 퍼즐에 씁니다.
계산 방법
내 봉투의 금액 A, 내가 작은 쪽을 들고 있을 확률 q에 대해 다음과 같습니다.
- 다른 봉투: 내 것이 작으면 2A, 크면 A/2
- 바꿨을 때 기대 금액 = q·2A + (1 − q)·A/2
- 바꿨을 때 기대 이득 = 그 금액 − A
- q > 1/3일 때만 바꾸는 것이 유리합니다.
- 순진한 추정(q를 항상 ½로 가정) = 5A/4
원리
역설의 논증은 이렇습니다. 다른 봉투에는 같은 확률로 2A 또는 A/2가 들어 있으니 바꾸면 5A/4로 A보다 크고, 대칭이므로 다시 바꾸는 일을 끝없이 반복해야 한다는 것입니다. 오류는 모든 A에 대해 q = ½이라는 가정에 있습니다. 열어 보기 전에는 두 봉투에 x와 2x가 들어 있고 각각의 기대값이 3x/2이므로, 무작정 바꿔서 얻는 것은 없습니다. A를 본 뒤 그것이 작은 쪽일 확률은 금액을 정한 방식에 달려 있고, 어떤 정당한 방식도 모든 A에서 q = ½을 만들 수 없습니다. 봉투를 채운 사람의 예산 한도 같은 정보가 q를 바꾸며, q > 1/3이라는 기준이 바꿀 가치가 있는 때를 알려 줍니다.
예제 풀이
기본값은 A = 100, 믿음 q = 30%입니다.
- 내 것이 크면 다른 봉투는 50, 작으면 200입니다.
- 바꿨을 때 기대 금액 = 0.3 × 200 + 0.7 × 50 = 60 + 35 = 95
- 기대 이득 = 95 − 100 = −5
- 기준은 q = 33.33%이고 30%는 그보다 낮으므로 봉투를 유지합니다.
- 순진한 논증은 125라고 주장하지만, 이는 내 믿음을 무시한 값입니다.
결과 해석
기대 이득이 양수면 내 믿음 아래에서 바꾸는 것이 유리하고, 음수면 유지합니다. 1/3이라는 기준은 q·2A + (1 − q)·A/2 = A를 풀어 나옵니다. A가 매우 크면 보통 큰 쪽을 들고 있을 가능성이 높아(q가 낮음) 유지하는 편이 낫고, A가 작으면 반대인 경우가 많습니다.
흔한 실수
- 모든 금액에서 q = ½이라고 가정하는 경우
- 순진한 5A/4를 실제 기대값으로 보는 경우
- 열어 보기 전에는 바꿔도 아무 이득이 없다는 점을 잊는 경우
- 아는 정보가 아니라 하고 싶은 선택에 맞춰 q를 정하는 경우
자주 묻는 질문
두 봉투 역설은 어떻게 풀리나요?
'반반' 단계가 모든 금액에서 성립하지 않습니다. 금액을 정한 방식을 고려하면 끝없이 바꾸라는 논증이 무너집니다.
언제 바꿔야 하나요?
내가 작은 쪽을 들고 있을 확률이 3분의 1보다 클 때입니다.
봉투를 열지 않았다면 바꾸는 것이 도움이 되나요?
아닙니다. 두 봉투의 기대값은 3x/2로 같습니다.
출처: Nalebuff, B. (1989), "Puzzles: The Other Person's Envelope is Always Greener", Journal of Economic Perspectives 3(1), 171–181