홍라이프 계산기독립 두 표본 t검정 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
독립 두 표본 t검정은 서로 다른 두 집단의 평균이 다른지 검정합니다. 처치군과 대조군 비교가 대표적입니다. 이 계산기는 두 집단의 분산이 같다고 가정하지 않아 기본값으로 권장되는 웰치 t검정, 전통적인 합동분산(스튜던트) t검정, 효과크기인 코언의 d를 함께 보여 줍니다.
계산 방법
- 웰치: t = (x̄₁ − x̄₂) ÷ √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
- 웰치–새터스웨이트 자유도: (v₁ + v₂)² ÷ [v₁²/(n₁ − 1) + v₂²/(n₂ − 1)], 여기서 v = s²/n이며 보통 정수가 아닙니다.
- 합동분산: s_p² = [(n₁ − 1)s₁² + (n₂ − 1)s₂²] ÷ (n₁ + n₂ − 2), 합동 t = (x̄₁ − x̄₂) ÷ √[s_p²(1/n₁ + 1/n₂)], 자유도 n₁ + n₂ − 2
- 코언의 d = (x̄₁ − x̄₂) ÷ s_p
p값은 모두 양측입니다.
원리
두 표본평균의 차이에도 각 집단의 변동과 크기로 정해지는 표준오차가 있습니다. t 통계량은 관측된 차이를 그 표준오차 단위로 잰 값입니다. 합동 검정은 두 집단의 분산이 같다고 보고 하나로 합치며, 웰치(1947)는 각 집단의 분산을 그대로 두고 자유도를 조정해, 분산과 표본 크기가 달라도 오류율을 α 가까이 유지합니다. 두 집단 크기가 같으면 두 t 값은 같아지고 자유도만 다릅니다.
예제 풀이
- A: 23, 25, 28, 30, 27, 26(평균 26.5, 분산 5.9), B: 20, 22, 24, 21, 23, 19(평균 21.5, 분산 3.5), 각 6개입니다.
- v₁ = 5.9 ÷ 6 = 0.98333, v₂ = 3.5 ÷ 6 = 0.58333, √(v₁ + v₂) = 1.25167입니다.
- 웰치 t = 5 ÷ 1.25167 = 3.99467731입니다.
- 웰치 자유도 = 1.56667² ÷ (0.98333²/5 + 0.58333²/5) = 9.3880153, p = 0.0028808345입니다.
- 합동: s_p² = (5 × 5.9 + 5 × 3.5) ÷ 10 = 4.7, t = 5 ÷ √(4.7 × 1/3) = 3.99467731(자유도 10), p = 0.0025400514로 3.99467731 / 0.0025400514입니다.
- 코언의 d = 5 ÷ √4.7 = 2.30632802입니다.
결과 해석
두 검정 모두 p < 0.01이므로 5만큼의 차이가 우연일 가능성은 매우 낮습니다. 코언(1988)은 d ≈ 0.2를 작음, 0.5를 중간, 0.8을 큼으로 제안했는데, d ≈ 2.3은 두 평균이 합동표준편차의 두 배 이상 떨어진 매우 큰 효과입니다.
흔한 실수
- 같은 대상의 전후 측정처럼 짝지은 자료에 독립 검정을 쓰는 경우(대응표본 t검정을 쓰십시오)
- 분산 동질성 검정 결과를 보고 합동·웰치를 고르는 경우: 처음부터 웰치를 쓰면 됩니다.
자주 묻는 질문
웰치 자유도는 왜 소수인가요?
두 집단의 정보를 섞어 근사한 값(새터스웨이트 근사)이기 때문이며, t분포는 정수가 아닌 자유도에서도 정의됩니다.
여기서 웰치 t와 합동 t가 같은 이유는 무엇인가요?
두 집단 크기가 같으면 두 표준오차 공식이 같은 값을 주기 때문이며, 자유도와 p값만 다릅니다.
정규분포가 아니면 어떻게 하나요?
작거나 치우친 표본에는 비모수 방법인 맨–휘트니 U검정을 흔히 사용합니다.
출처: Welch, B. L. (1947). The generalization of "Student's" problem when several different population variances are involved. Biometrika, 34, 28–35. · Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum.