홍라이프 계산기균등분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
균등분포 계산기는 최솟값 a와 최댓값 b 사이의 모든 값이 똑같이 나올 수 있는 경우를 다룹니다. 원하는 구간에 값이 들어갈 확률과 평균, 분산을 구해 줍니다. 난수 생성기에서 나오는 수, 정해진 10분 사이에 오는 버스의 도착 시각, 반올림 오차, 선분 위에 아무렇게나 찍은 점의 위치 등이 대표적인 예입니다.
계산 방법
- P(from < X < to) = (min(to, b) − max(from, a)) ÷ (b − a)입니다. 묻는 구간은 [a, b] 범위 안으로 잘라서 계산합니다.
- 평균 = (a + b) ÷ 2로, 범위의 한가운데입니다.
- 분산 = (b − a)² ÷ 12이며, 표준편차는 (b − a) ÷ √12 ≈ 0.2887 × (b − a)입니다.
확률밀도는 a ≤ x ≤ b에서 f(x) = 1 ÷ (b − a)로 일정하고 그 밖에서는 0입니다. 모든 값은 같은 단위여야 하고 b는 a보다 커야 합니다. 연속분포이므로 끝점을 포함하든 안 하든 확률은 같습니다.
원리
'똑같이 나올 수 있다'는 것은 확률이 범위 전체에 고르게 퍼져 있다는 뜻입니다. 밀도 곡선 아래 넓이의 합은 1이어야 하므로 높이는 1 ÷ (b − a)입니다. 따라서 어떤 구간의 확률은 그 길이에 높이를 곱한 값, 곧 구간 길이를 전체 범위 길이로 나눈 값입니다. 평균은 대칭성 때문에 가운데에 오고, 분산은 (x − 평균)² × f(x)를 범위에서 적분하여 (b − a)²/12로 얻습니다.
예제 풀이
- 입력값: a = 0, b = 10, from = 2, to = 5입니다.
- 잘라 낸 구간은 max(2, 0) = 2부터 min(5, 10) = 5까지이며 길이는 3입니다.
- P(2 < X < 5) = 3 ÷ (10 − 0) = 0.3입니다.
- 평균 = (0 + 10) ÷ 2 = 5입니다.
- 분산 = (10 − 0)² ÷ 12 = 100 ÷ 12 ≈ 8.3333, 표준편차는 약 2.887입니다.
| 최댓값 b | P(시작 < X < 끝) |
|---|---|
| 2.5 | 0.2 |
| 5 | 0.6 |
| 7.5 | 0.4 |
| 10 | 0.3 |
| 12.5 | 0.24 |
| 15 | 0.2 |
| 20 | 0.15 |
결과 해석
확률은 구간이 전체 범위에서 차지하는 비율 그대로입니다. 범위의 30%를 덮으면 확률도 30%입니다. 정규분포와 달리 평균 근처에 값이 몰리지 않으며, 양 끝 근처의 값도 가운데 값과 똑같이 나옵니다.
흔한 실수
- 키나 시험 점수처럼 한가운데로 몰리는 자료에 균등분포를 쓰는 경우
- [a, b]와 전혀 겹치지 않는 구간을 넣는 경우(실제 확률은 0이므로 구간이 범위와 겹치는지 먼저 확인하세요)
- 공정한 주사위 같은 이산 균등분포와 혼동하는 경우(이산형의 분산은 (n² − 1) ÷ 12입니다)
자주 묻는 질문
정확히 한 값이 나올 확률은 얼마인가요?
한 점은 길이가 없으므로 0입니다.
a와 b 사이의 균등 난수는 어떻게 만드나요?
0과 1 사이의 표준 난수 U를 뽑아 a + (b − a) × U를 계산합니다.
분산에서 왜 12로 나누나요?
가운데에서의 거리 제곱을 범위 전체에서 적분한 결과로, 길이가 L이면 L²/12가 됩니다.
출처: Ross, S. M., A First Course in Probability (Pearson) · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.2 Uniform Distribution