합집합·교집합 계산기 (A ∪ B, A ∩ B, 차집합, 여집합)

합집합·교집합 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 두 집합의 합집합, 교집합, 차집합, 대칭차, 여집합을 구하고 개수 공식 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)를 확인합니다. 집합론, 확률, 벤 다이어그램 과제, 데이터베이스 조회, 목록 걸러내기에 씁니다.

계산 방법

• A ∪ B: A나 B, 또는 둘 다에 있는 원소(논리합 OR)
• A ∩ B: 둘 다에 있는 원소(논리곱 AND)
• A − B: B에 없는 A의 원소, A ∩ B′와 같습니다.
• A △ B: 둘 중 정확히 한 집합에만 있는 원소
• A′: 전체집합 U에서 A에 없는 원소(U를 입력하면 표시)
• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

중복은 무시하고, 숫자는 작은 것부터 정렬합니다.

원리

집합 연산은 논리와 짝을 이룹니다. 합집합은 '또는', 교집합은 '그리고', 여집합은 '아니다'입니다. 개수 공식에서 교집합을 빼는 이유는 두 집합에 모두 있는 원소가 A에서 한 번, B에서 한 번 두 번 세어지기 때문입니다. 드모르간의 법칙이 연산들을 이어 줍니다. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′입니다. 교집합이 공집합이면 두 집합은 서로소입니다.

예제 풀이

기본값은 A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}, U = {1, …, 10}입니다.

1. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {4, 5}
2. A − B = {1, 2, 3}, B − A = {6, 7}, A △ B = {1, 2, 3, 6, 7}
3. 개수 확인: 7 = 5 + 4 − 2
4. 4와 5를 공유하므로 서로소가 아닙니다.
5. U에서의 여집합: A′ = {6, 7, 8, 9, 10}, (A ∪ B)′ = {8, 9, 10}, (A ∩ B)′ = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

결과 해석

합집합은 적어도 한 집합에 포함된 전체를, 교집합은 겹치는 부분을 보여 줍니다. 차집합은 각 집합에만 있는 것을, 대칭차는 그 둘을 합친 것을 보여 줍니다. 여집합은 U를 기준으로 '빠진 것'에 답하며, 확률에서 P(A′) = 1 − P(A)를 쓸 때 유용합니다. 드모르간의 법칙도 이 예에서 확인할 수 있습니다. (A ∪ B)′ = {8, 9, 10}은 A′와 B′의 공통 원소와 같습니다.

흔한 실수

• 합집합의 개수를 셀 때 교집합을 빼지 않는 경우
• A − B와 B − A를 혼동하는 경우
• 전체집합을 정하지 않고 여집합을 구하는 경우
• 원소를 일관되지 않게 입력해 '5'와 '5.0'이 다른 원소가 되는 경우

자주 묻는 질문

합집합과 교집합은 어떻게 다른가요?

합집합은 어느 한쪽에라도 있는 원소를 모으고, 교집합은 양쪽에 모두 있는 원소만 남깁니다.

A ∩ B가 공집합이면 무슨 뜻인가요?

두 집합이 공통 원소가 없는 서로소라는 뜻입니다.

집합의 드모르간 법칙은 무엇인가요?

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′, (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′입니다.

출처: OpenStax, Contemporary Mathematics (2023), §1.4 Set Operations with Two Sets