홍라이프 계산기단위벡터·방향각 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
단위벡터는 크기가 1이며 원래 벡터의 방향만 담고 있는 벡터입니다. 이 계산기는 3차원 벡터 v를 단위벡터로 바꾸고, 크기와 함께 v가 양의 x, y, z축과 이루는 방향각 α, β, γ를 알려 줍니다. 그래픽의 면 법선, 역학에서 힘의 방향, 측량·구조해석의 방향코사인처럼 ‘크기 말고 방향만’ 필요할 때 쓰입니다.
계산 방법
- 크기: |v| = √(x² + y² + z²)
- 단위벡터: û = v ÷ |v| = (x/|v|, y/|v|, z/|v|)
- 방향각: α = arccos(x/|v|), β = arccos(y/|v|), γ = arccos(z/|v|)이며 0°~180°의 도 단위입니다.
영벡터는 방향이 없으므로 오류로 표시됩니다.
원리
모든 성분을 같은 양수로 나누면 벡터가 회전하지 않고 길이만 바뀌므로, û는 v와 같은 방향이면서 길이가 정확히 1입니다. û의 성분을 방향코사인이라고 부르는데, 내적을 쓰면 cos α = (v · i) ÷ |v| = x ÷ |v|이고 y, z축도 마찬가지이기 때문입니다. û의 길이가 1이므로 cos²α + cos²β + cos²γ = 1이 성립하며, 세 각은 서로 독립이 아닙니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 v = (3, 4, 12)입니다.
- |v| = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13입니다.
- û = (3/13, 4/13, 12/13) = (0.2307692308, 0.3076923077, 0.9230769231)입니다.
- α = arccos(0.230769) = 76.6576362°입니다.
- β = arccos(0.307692) = 72.07978686°입니다.
- γ = arccos(0.923077) = 22.61986495°입니다.
검산하면 0.0533 + 0.0947 + 0.8521 = 1로 방향코사인의 제곱합이 1입니다.
결과 해석
방향각이 작을수록 벡터가 그 축에 가깝습니다. 예제는 γ ≈ 22.6°이므로 v가 주로 +z 방향을 향합니다. 방향각이 90°이면 그 축에 수직이고, 90°보다 크면 그 축 성분이 음수라는 뜻입니다. 같은 방향으로 길이 L인 벡터가 필요하면 û에 L을 곱하면 되며, 26û = (6, 8, 24)입니다.
흔한 실수
- 크기 대신 성분의 합으로 나누는 경우입니다.
- α + β + γ가 90°나 180°가 되리라 기대하는 경우입니다. 합이 1이 되는 것은 코사인의 제곱입니다.
- 성분이 아주 작은 벡터를 정규화하는 경우입니다. 반올림 오차로 방향이 틀어질 수 있습니다.
자주 묻는 질문
두 점을 잇는 방향의 단위벡터는 어떻게 구하나요?
좌표를 빼서 v = B − A를 만든 뒤 |v|로 나누면 됩니다.
단위벡터와 법선벡터는 같은 것인가요?
아닙니다. 법선벡터는 면에 수직인 벡터로 길이는 자유이고, 이를 정규화한 것이 단위법선벡터입니다.
i, j, k는 무엇인가요?
x, y, z축 방향의 단위벡터 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)입니다.
출처: Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Chapter 1 (lengths and unit vectors) · James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, section on vectors and direction angles