홍라이프 계산기벤 다이어그램 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 알고 있는 전체 수와 겹치는 수로 두 집합 또는 세 집합 벤 다이어그램의 모든 영역을 포함배제의 원리로 채웁니다. 합집합, 각 '~만' 영역, 세 번째 집합을 뺀 두 집합 영역, 세 집합 공통 영역, 정확히 하나와 정확히 둘에 속한 수, 모두 바깥의 수, 합집합의 확률을 보여 줍니다. 설문 문제, 확률, 통계, 논리 퍼즐에 씁니다.
계산 방법
두 집합: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), A만 = n(A) − n(A ∩ B)
세 집합:
- n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
- 세 번째를 뺀 두 집합 영역 = 두 집합의 교집합 − 세 집합 공통
- A만 = n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
- 모두 바깥 = U − 합집합, 영역 ÷ U = 확률
어떤 영역이 음수로 나오면 입력한 수가 동시에 성립할 수 없습니다.
원리
세 집합의 크기를 더하면 두 집합에 속한 원소는 두 번, 세 집합 모두에 속한 원소는 세 번 세어집니다. 두 집합의 교집합 세 개를 빼면 두 번 센 것은 바로잡히지만 세 집합 공통 영역은 세 번 빠져 아예 세어지지 않으므로 한 번 다시 더합니다. 이렇게 더하고 빼기를 번갈아 하는 것이 포함배제의 원리이며, 집합이 더 많아도 같은 방식으로 늘어납니다. 가운데(세 집합 공통)부터 두 집합 영역, 한 집합 영역 순으로 채우면 실수 없이 벤 다이어그램을 완성할 수 있습니다.
예제 풀이
기본값은 U = 100, n(A) = 45, n(B) = 38, n(C) = 30, n(A ∩ B) = 15, n(A ∩ C) = 10, n(B ∩ C) = 8, n(A ∩ B ∩ C) = 4입니다.
- 합집합 = 45 + 38 + 30 − 15 − 10 − 8 + 4 = 84
- 세 번째를 뺀 두 집합 영역: A와 B만 11, A와 C만 6, B와 C만 4, 셋 모두 4
- A만 = 45 − 15 − 10 + 4 = 24, B만 = 19, C만 = 16
- 정확히 하나 = 24 + 19 + 16 = 59, 정확히 둘 = 11 + 6 + 4 = 21
- 모두 바깥 = 100 − 84 = 16, 합집합의 확률 = 0.84
| n(A ∩ B ∩ C) (집합 3개일 때만) | 합집합 (적어도 한 집합에 속함) |
|---|---|
| 1 | 81 |
| 2 | 82 |
| 3 | 83 |
| 4 | 84 |
| 5 | 85 |
| 6 | 86 |
| 8 | 88 |
결과 해석
영역을 모두 더하면 합집합이 됩니다(59 + 21 + 4 = 84). '~만' 영역은 '차만 좋아하는 사람은 몇 명인가' 같은 질문에 답합니다. 바깥 영역은 U에 속하지만 어느 집합에도 속하지 않는 사람입니다. 음수 영역은 입력 자료가 모순되거나 잘못 입력되었다는 신호입니다.
흔한 실수
- 세 집합 공통 영역을 다시 더하는 것을 잊는 경우
- n(A ∩ B)를 'A와 B만'으로 읽는 경우(C에도 속한 사람이 포함됩니다)
- 가운데가 아니라 바깥 영역부터 채우는 경우
- U를 0으로 둔 채 바깥 영역 수를 기대하는 경우
자주 묻는 질문
포함배제의 원리란 무엇인가요?
합집합의 원소 수를 셀 때 크기를 더하고, 두 집합의 겹침을 빼고, 세 집합의 겹침을 다시 더하는 식으로 세는 규칙입니다.
세 집합에서 'A만'은 어떻게 구하나요?
n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)입니다.
영역이 음수로 나오는 이유는 무엇인가요?
교집합이 한 집합보다 큰 것처럼 입력한 수가 서로 모순되기 때문입니다.
출처: Inclusion–exclusion principle for finite sets (e.g. OpenStax, Contemporary Mathematics (2023), §1.4–1.5)