홍라이프 계산기부피 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정육면체, 직육면체, 원기둥, 원뿔, 구, 반구, 각뿔, 삼각기둥, 캡슐, 원뿔대, 타원체, 원환면(토러스) 같은 입체의 부피와 겉넓이를 구합니다. cm, m, 인치, 피트를 쓰면 부피를 리터와 미국 갤런으로도 바꿔 줍니다. 물탱크, 용기, 콘크리트, 흙, 어항, 포장, 기하 과제에 씁니다.
계산 방법
- 정육면체 a³, 직육면체 abc, 원기둥 πa²b, 원뿔 πa²b ÷ 3
- 구 (4/3)πa³, 반구 (2/3)πa³, 사각뿔 abc ÷ 3, 삼각기둥 ½·abc
- 캡슐 πa²b + (4/3)πa³, 원뿔대 πc ÷ 3 × (a² + ab + b²), 타원체 (4/3)πabc, 원환면 2π²ab²
- 1L = 1,000cm³, 미국 1갤런 = 3.785411784L
타원체의 겉넓이는 크누드 톰센의 근사식(오차 약 1% 이내)을 씁니다.
원리
부피는 입체 안쪽 공간의 크기를 세제곱 단위로 나타냅니다. 각기둥과 원기둥은 같은 단면이 쌓인 모양이므로 부피 = 밑넓이 × 높이입니다. 원뿔과 각뿔은 한 점으로 좁아지며, 부피는 같은 밑면과 높이의 기둥의 정확히 3분의 1입니다. 고대 그리스 때부터 알려진 사실이며 오늘날에는 적분으로 증명합니다. 구와 원환면은 도형을 회전해 만든 입체로, 파푸스 정리에 따르면 원환면의 부피는 단면 원의 넓이에 그 중심이 움직인 거리를 곱한 값입니다.
예제 풀이
기본값은 원기둥, 반지름 a = 3cm, 높이 b = 10cm입니다.
- 부피 = π × 3² × 10 = 90π ≈ 282.7433388cm³
- 겉넓이 = 2π × 3 × 10 + 2π × 3² = 78π ≈ 245.044227cm²
- 리터로는 282.7433388 ÷ 1,000 ≈ 0.2827433388L
- 미국 갤런으로는 0.2827433388 ÷ 3.785411784 ≈ 0.0746928881gal
| a | 부피 |
|---|---|
| 0.75 | 17.67145868 |
| 1.5 | 70.68583471 |
| 2.25 | 159.0431281 |
| 3 | 282.7433388 |
| 3.75 | 441.7864669 |
| 4.5 | 636.1725124 |
| 6 | 1,130.973355 |
결과 해석
부피는 입력 단위의 세제곱이며, 액체에는 리터로 본 용량이 편리합니다. 탱크의 용량은 안쪽 치수로 구하고, 바깥 치수에는 벽 두께가 포함됩니다. 콘크리트나 흙은 손실과 다짐을 고려해 여유를 더하십시오. 이 예의 원기둥은 약 283mL로, 일반적인 음료 캔 하나와 비슷한 크기입니다.
흔한 실수
- 반지름 대신 지름을 쓰는 경우
- 원뿔과 각뿔에서 ÷ 3을 잊는 경우
- 반지름은 cm, 높이는 m처럼 단위를 섞는 경우
- 미국 갤런과 영국 갤런을 혼동하는 경우(영국 갤런은 약 4.546L)
자주 묻는 질문
1세제곱미터는 몇 리터인가요?
1,000리터입니다.
원뿔은 왜 원기둥의 3분의 1인가요?
밑면과 높이가 같은 원뿔은 원기둥 부피의 정확히 3분의 1이며, 적분이나 물 채우기 실험으로 보일 수 있습니다.
모양이 불규칙한 물체의 부피는 어떻게 구하나요?
물에 담가 넘치거나 올라간 물의 부피를 재면 됩니다.
출처: OpenStax, Calculus Volume 1, §6.2–6.3 (volumes of solids) · NIST Special Publication 811 (2008), Appendix B (litre and gallon factors)