가중평균 계산기

가중평균 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

가중평균은 값마다 중요도를 달리 주어 구하는 평균입니다. 각 값에 중요도나 크기, 비중을 나타내는 가중치를 곱해 더한 뒤 가중치의 합으로 나눕니다. 중간·기말·과제의 반영 비율이 다른 성적, 학점을 반영한 평점, 투자 수익률, 수량이 다르게 산 물건의 평균 단가, 집단 크기를 반영한 조사 결과 등을 계산할 때 씁니다.

계산 방법

가중평균 = Σ(xᵢ × wᵢ) ÷ Σwᵢ

• xᵢ는 값(점수, 가격, 비율)이며 결과도 같은 단위를 따릅니다.
• wᵢ는 가중치입니다. 백분율, 학점, 수량 등 0 이상의 수면 되고, 서로 간의 상대적인 크기만 의미가 있습니다.
• 가중치 합계 Σwᵢ도 함께 보여 줍니다. 가중치의 합으로 나누기 때문에 합이 꼭 100이나 1일 필요는 없습니다.

원리

가중치를 '그 값이 몇 번 들어 있는가'로 생각하면 쉽습니다. 가중치가 50인 값은 보통 목록에 50번 적힌 것과 같으므로, 가중평균은 그렇게 늘어놓은 목록의 산술평균과 같습니다. 가중치 합으로 나누면 각 가중치가 합이 1인 비중으로 바뀌므로, 결과는 언제나 가장 작은 값과 가장 큰 값 사이에 놓입니다. 가중치가 모두 같으면 일반 산술평균과 같아집니다.

예제 풀이

1. 입력값: 점수 85, 90, 78, 가중치 30, 50, 20입니다(중간 30%, 기말 50%, 과제 20%라고 생각하시면 됩니다).
2. 곱: 85 × 30 = 2,550, 90 × 50 = 4,500, 78 × 20 = 1,560입니다.
3. 곱의 합 = 2,550 + 4,500 + 1,560 = 8,610입니다.
4. 가중치 합계 = 30 + 50 + 20 = 100입니다.
5. 가중평균 = 8,610 ÷ 100 = 86.1입니다.

결과 해석

결과는 가중치가 큰 값 쪽으로 끌려갑니다. 85, 90, 78의 단순 평균은 약 84.33이지만, 90점이 전체 비중의 절반을 차지하므로 가중평균은 86.1로 올라갑니다. 한 항목이 결과를 얼마나 바꾸는지 알고 싶다면 점수 변화에 그 항목의 비중을 곱하면 됩니다. 과제 점수가 10점 오르면 10 × 20 ÷ 100 = 2점이 오릅니다.

흔한 실수

• 값과 가중치의 순서를 다르게 입력해 엉뚱한 항목에 가중치가 붙는 경우
• 가중치 합이 아니라 항목 수로 나누는 경우
• 인원이 다른 반의 평균을 인원을 반영하지 않고 평균 내는 경우
• 비중으로서 의미가 없는 음수 가중치를 넣는 경우

자주 묻는 질문

가중치 합이 100%가 되어야 하나요?

아닙니다. 가중치 합으로 나누므로 3, 5, 2를 넣어도 30%, 50%, 20%와 같은 결과가 나옵니다.

평점(GPA)도 가중평균인가요?

네. 과목별 평점에 학점을 가중치로 곱해 더한 뒤 총 이수 학점으로 나눈 값입니다.

목표 점수를 받으려면 마지막 시험에서 몇 점이 필요한가요?

목표 × Σw = (이미 아는 xᵢwᵢ의 합) + x × w 식을 x에 대해 풀면 됩니다. w는 남은 항목의 가중치입니다.

출처: G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press