홍라이프 계산기z 점수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
z 점수 계산기는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 계산하고, 이를 백분위와 p값으로 바꿔 줍니다. 단위가 서로 다른 자료를 비교하거나(시험 점수와 키, 검사 수치와 기준값), 이상값을 찾거나, 간단한 z검정을 할 때 사용합니다.
계산 방법
- z = (x − μ) ÷ σ입니다. x는 관측값, μ는 평균, σ는 표준편차이며 모두 같은 단위여야 합니다.
- 백분위 = Φ(z) × 100으로, 정규분포에서 x보다 작은 값의 비율입니다.
- 단측 p값 = 1 − Φ(|z|)로, 한쪽 꼬리에서 |z| 바깥의 넓이입니다.
- 양측 p값 = 2 × (1 − Φ(|z|))로, 양쪽 꼬리를 합한 넓이입니다.
Φ는 표준정규분포의 누적분포함수입니다. 나눗셈에서 단위가 약분되므로 z 점수에는 단위가 없습니다.
원리
평균을 빼면 자료의 중심이 0으로 옮겨지고, 표준편차로 나누면 척도가 사라집니다. 그 결과 어떤 자료에서든 같은 의미를 갖는 순수한 수가 됩니다. z = 2는 시험 점수든 혈압이든 평균보다 표준편차 2개만큼 높다는 뜻입니다. 자료가 정규분포를 따르면 z도 표준정규분포를 따르므로 꼬리 넓이를 확률로 읽을 수 있습니다. p값에 절댓값 |z|를 쓰는 것은 평균보다 같은 거리만큼 낮은 값도 같은 p값을 갖게 하기 위해서입니다.
예제 풀이
- 입력값: x = 130, 평균 100, 표준편차 15입니다.
- z = (130 − 100) ÷ 15 = 30 ÷ 15 = 2입니다.
- Φ(2) ≈ 0.97725이므로 백분위는 97.72%입니다.
- 단측 p값 = 1 − 0.97725 ≈ 0.02275입니다.
- 양측 p값 = 2 × 0.02275 ≈ 0.0455입니다.
| 값 x | z |
|---|---|
| 32.5 | -4.5 |
| 65 | -2.333333333 |
| 97.5 | -0.1666666667 |
| 130 | 2 |
| 162 | 4.166666667 |
| 195 | 6.333333333 |
| 260 | 10.66666667 |
결과 해석
z = 0은 정확히 평균입니다. 정규분포에서 약 68%가 |z| < 1, 95%가 |z| < 1.96, 99.7%가 |z| < 3 범위에 들어갑니다. |z|가 2를 넘으면 드문 값이고, 3을 넘으면 이상값인지 살펴보는 경우가 많습니다. z검정에서 양측 p값이 0.05보다 작다는 것은 |z| > 1.96과 같은 뜻입니다.
흔한 실수
- 아주 작은 표본에서 구한 표준편차를 참값 σ처럼 쓰는 경우
- 백분위를 '그 값이 옳을 확률'로 해석하는 경우
- 양측 가설인데 단측 p값을 보고하는 경우
자주 묻는 질문
z 점수가 음수일 수도 있나요?
네. 음수는 평균보다 작다는 뜻이며, z = −1.5는 평균보다 표준편차 1.5개만큼 낮은 값입니다.
좋은 z 점수의 기준이 있나요?
정해진 기준은 없습니다. 값이 클수록 좋은 지표인지에 따라 달라지며, z는 평균 대비 위치만 알려 줍니다.
z 점수를 원래 값으로 되돌리려면 어떻게 하나요?
x = μ + z × σ를 씁니다. z = 2, μ = 100, σ = 15이면 x = 130입니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.1 Normal Distribution · Moore, D. S., McCabe, G. P. and Craig, B. A., Introduction to the Practice of Statistics (W. H. Freeman)