홍라이프 계산기블랙-숄즈 옵션 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 블랙–숄즈–머턴 모형으로 유럽형 콜옵션과 풋옵션의 가격을 구하고, 주요 그릭스인 델타, 감마, 베가, 세타, 로와 d₁, d₂를 보여 줍니다. 옵션 수업, 증권사 호가 확인, 변동성과 시간이 옵션 가격에 주는 영향 이해, 헤지 감각을 기를 때 씁니다.
계산 방법
- d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)T] ÷ (σ√T), d₂ = d₁ − σ√T
- 콜 = S e^(−qT) N(d₁) − K e^(−rT) N(d₂)
- 풋 = K e^(−rT) N(−d₂) − S e^(−qT) N(−d₁)
- 델타: 콜 e^(−qT) N(d₁), 풋 e^(−qT)[N(d₁) − 1]. 감마 = e^(−qT) N′(d₁) ÷ (Sσ√T). 베가 = S√T N′(d₁) e^(−qT), 변동성 1%포인트당
- 세타는 하루당, 로는 금리 1%포인트당으로 표시합니다.
S는 주가, K는 행사가격, T는 만기까지 연수, σ는 변동성, r은 무위험 이자율, q는 배당수익률, N은 표준정규분포입니다.
원리
이 모형은 주가가 일정한 변동성의 무작위 행보를 따라 만기 주가의 로그가 정규분포를 이룬다고 가정합니다. 옵션과 계속 조정되는 양의 주식으로 만든 포트폴리오는 매 순간 위험이 없게 만들 수 있으므로 무위험 이자율만큼 벌어야 하고, 이 조건이 주식의 기대수익률 없이도 옵션 가치를 정합니다. N(d₂)는 콜이 만기에 내가격일 위험중립 확률이고, N(d₁)은 헤지 비율입니다. 콜과 풋 가격은 풋–콜 패리티로 이어집니다.
예제 풀이
기본값은 S = 100, K = 105, T = 0.5, σ = 30%, r = 4.5%, q = 0입니다.
- d₁ = [ln(100/105) + (0.045 + 0.045) × 0.5] ÷ (0.3 × √0.5) ≈ −0.0179, d₂ ≈ −0.2300
- N(d₁) ≈ 0.4929, N(d₂) ≈ 0.4090
- 콜 = 100 × 0.4929 − 105 × e^(−0.0225) × 0.4090 ≈ $7.29
- 풋 ≈ $9.96(검산: 콜 − 풋 = 100 − 105e^(−0.0225) ≈ −2.66)
- 콜 델타 0.4929, 풋 델타 −0.5071, 감마 0.0188, 베가 0.282, 콜 세타 하루 −0.0284
| 현재 주가 | 콜옵션 가치 |
|---|---|
| 25 | $0.00 |
| 50 | $0.00135 |
| 75 | $0.57 |
| 100 | $7.29 |
| 125 | $24.62 |
| 150 | $47.72 |
| 200 | $97.34 |
결과 해석
가격은 모형의 가정 아래 공정가치이며, 시장 가격에는 수급과 시장의 내재변동성이 반영됩니다. 델타가 0.5 근처면 옵션이 등가격에 가깝다는 뜻입니다. 베가는 변동성이 1%포인트 움직일 때 가격 변화로, 매수자에게 가장 중요한 민감도인 경우가 많습니다. 음의 세타는 시간이 지나며 옵션을 보유하는 하루 비용입니다. 코스피200 옵션처럼 지수옵션에도 같은 원리를 쓰지만, 실제 거래에서는 시장 변동성을 넣어 비교해야 합니다.
흔한 실수
- 백분율 칸에 변동성이나 금리를 소수로 넣는 경우
- T에 연 대신 개월 수를 넣는 경우
- 조기 행사 가치가 있는 미국형 옵션에 그대로 쓰는 경우
- 콜 가치를 낮추는 배당을 무시하는 경우
자주 묻는 질문
N(d₂)는 무슨 뜻인가요?
콜옵션이 만기에 내가격으로 끝날 위험중립 확률입니다.
내재변동성이란 무엇인가요?
모형 가격이 시장의 옵션 가격과 같아지게 하는 변동성입니다.
블랙–숄즈는 미국형 옵션에도 맞나요?
정확하지 않습니다. 일부 미국형 옵션에 중요한 조기 행사를 무시하기 때문입니다.
출처: John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 10th ed. (Pearson, 2018), ch. 15, 17 and 19