홍라이프 계산기채권 볼록성 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 채권 가격, 매콜리 듀레이션, 수정 듀레이션, 볼록성을 구하고, 수익률 변화에 대한 가격 변화를 듀레이션만 쓴 추정, 듀레이션과 볼록성을 함께 쓴 추정, 정확한 재평가 세 가지로 비교합니다. 채권 수업, 금리 위험 관리, 금리가 오를 때와 내릴 때 채권 가격 반응이 다른 이유를 이해할 때 씁니다.
계산 방법
기간 수익률 i = 만기수익률 ÷ 지급 횟수, k기의 현금흐름을 a_k라 하면 다음과 같습니다.
- 가격 P = Σ a_k (1 + i)^(−k)
- 매콜리 듀레이션 = Σ k·a_k(1 + i)^(−k) ÷ P, 지급 횟수로 나눠 연 단위로 바꿉니다.
- 수정 듀레이션 = 매콜리 ÷ (1 + i)
- 볼록성 = Σ k(k + 1)·a_k(1 + i)^(−k−2) ÷ P, 지급 횟수의 제곱으로 나눠 연² 단위
- 가격 변화 ≈ −D_mod·Δy + ½·C·Δy²
오늘이 이자 지급일이라 경과이자가 없다고 가정합니다.
원리
채권 가격은 현금흐름의 현재가치이고, 수익률과의 관계는 직선이 아니라 곡선입니다. 듀레이션은 그 기울기, 즉 수익률이 조금 변할 때의 가격 변화율입니다. 볼록성은 곡률을 잽니다. 일반 채권의 곡선은 아래로 볼록하므로 수익률이 오를 때는 직선 추정보다 가격이 덜 떨어지고, 내릴 때는 더 오릅니다. 볼록성 항을 더하면 큰 변화에서도 정확한 값에 훨씬 가까워집니다.
예제 풀이
기본값은 액면 $1,000, 표면금리 5%, 만기수익률 6%, 10년, 연 2회 지급, 수익률 변화 +1%포인트입니다.
- 반기 3%로 $25 이자 20번을 할인하면 가격은 $925.61입니다.
- 매콜리 듀레이션 = 7.89년, 수정 듀레이션 = 7.89 ÷ 1.03 ≈ 7.67
- 볼록성 ≈ 71.79(연²)
- 듀레이션만: −7.67 × 0.01 = −7.67%, 볼록성 포함: −7.67% + ½ × 71.79 × 0.0001 ≈ −7.31%
- 7%로 정확히 재평가하면 $857.88, 변화율 −7.32%
| 만기까지 기간 (년) | 볼록성 (년²) |
|---|---|
| 2.5 | 6.62 |
| 5 | 22.3 |
| 7.5 | 44.7 |
| 10 | 71.79 |
| 12.5 | 101.91 |
| 15 | 133.72 |
| 20 | 198.36 |
결과 해석
듀레이션이 클수록 금리에 대한 가격 민감도가 큽니다. 볼록성이 크면 보유자에게 대체로 유리해서, 수익률이 오를 때 손실을 줄이고 내릴 때 이익을 늘립니다. 만기가 길고 표면금리가 낮을수록 듀레이션과 볼록성이 모두 커집니다. 작은 수익률 변화에는 듀레이션만으로 충분하지만 큰 변화에는 볼록성을 함께 쓰십시오. 이 예에서도 볼록성을 넣은 추정(−7.31%)이 정확한 값(−7.32%)과 거의 같습니다.
흔한 실수
- 가격 공식에 매콜리 듀레이션과 수정 듀레이션을 섞어 쓰는 경우
- 수익률 변화를 소수(0.01) 자리에 백분율(1)로 넣거나 그 반대로 하는 경우
- 기간 단위 결과를 연 단위로 바꾸지 않는 경우
- 볼록성이 음수일 수 있는 콜옵션부 채권에 그대로 쓰는 경우
자주 묻는 질문
일반 채권의 볼록성은 왜 양수인가요?
가격–수익률 곡선이 아래로 볼록해, 같은 폭이라도 수익률이 내릴 때 오르는 폭이 오를 때 떨어지는 폭보다 크기 때문입니다.
듀레이션과 볼록성은 어떻게 다른가요?
듀레이션은 수익률에 대한 1차 민감도이고, 볼록성은 곡률을 보정하는 2차 항입니다.
무이표채에도 볼록성이 있나요?
네. 만기가 긴 무이표채는 볼록성이 매우 큽니다.
출처: R. Alps, "Using Duration and Convexity to Approximate Change in Present Value", Society of Actuaries study note FM-24-17 (2017)