홍라이프 계산기복권 연금 대 일시금 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
미국의 대형 복권 당첨금은 여러 해에 걸쳐 나눠 받는 연금의 총액으로 광고되지만, 당첨자는 이보다 적은 현금 일시금을 선택할 수도 있습니다. 이 계산기는 해마다 받는 금액, 할인율을 적용한 연금의 현재가치, 두 방식의 가치가 같아지는 손익분기 할인율을 구합니다.
계산 방법
- 지급 횟수 N, 연 증가율 g, 총액 J일 때 첫 지급액 = J × g ÷ ((1 + g)^N − 1)이며, g = 0이면 J ÷ N입니다.
- k번째 지급액 = 첫 지급액 × (1 + g)^(k − 1)
- 첫 지급은 즉시, 이후는 매년 같은 날 받으므로 현재가치 PV = Σ 지급액_k ÷ (1 + d)^(k − 1)
- 손익분기 할인율은 PV가 일시금과 같아지는 d로, 이분법으로 찾습니다.
원리
나중에 받는 돈은 지금 받는 돈보다 가치가 작습니다. 지금 받은 돈은 투자해 불릴 수 있기 때문입니다. 연금 지급액을 오늘 가치로 할인하면 일시금과 비교할 수 있습니다. 내 할인율에서 연금의 현재가치가 일시금보다 크면 연금이 유리하고, 일시금을 손익분기 할인율보다 높은 수익률로 굴릴 수 있다면 일시금이 유리합니다. 세금은 반영하지 않으며, 두 방식 모두 받을 때 소득으로 과세됩니다.
예제 풀이
기본값: 당첨금 5억 달러, 일시금 2억 3천만 달러, 30회, 연 5% 증가, 할인율 4%
- 첫 지급액 = 500,000,000 × 0.05 ÷ (1.05^30 − 1) ≈ 7,525,718달러
- 마지막 지급액 = 7,525,718 × 1.05^29 ≈ 30,976,874달러
- 30회를 4%로 할인한 현재가치 ≈ 260,267,110달러
- 현재가치 − 일시금 = 30,267,110달러로, 4%에서는 연금이 유리합니다.
- 손익분기 할인율은 약 4.87%, 일시금은 당첨금의 46%입니다.
| 광고된 당첨금 (연금 지급액 합계) | 연금의 현재가치 |
|---|---|
| 1.25e+08 | $65,066,778 |
| 2.5e+08 | $130,133,555 |
| 3.75e+08 | $195,200,333 |
| 5e+08 | $260,267,110 |
| 6.25e+08 | $325,333,888 |
| 7.5e+08 | $390,400,665 |
| 1e+09 | $520,534,220 |
결과 해석
일시금을 세후·위험 조정 후에도 손익분기 할인율보다 높게 운용할 자신이 있다면 금액상으로는 일시금이 유리합니다. 꾸준한 수입, 과소비 방지, 세금 분산을 중시한다면 연금에는 숫자 이상의 장점이 있습니다. 일시금 비율은 당시 금리 수준에 따라 달라집니다.
흔한 실수
- 광고된 당첨금 총액과 일시금을 그대로 비교하는 경우
- 높은 주식 기대수익률을 안전한 할인율처럼 쓰는 경우
- 두 방식 모두 과세되며 시점이 다르다는 점을 무시하는 경우
- 증가형 지급인데 매년 같은 금액이라고 가정하는 경우
자주 묻는 질문
일시금과 연금 중 무엇이 나은가요?
기대 수익률, 세금, 개인 성향에 따라 다릅니다. 손익분기 할인율이 숫자로 된 기준이 됩니다.
연금 지급액은 왜 해마다 늘어나나요?
파워볼과 메가밀리언스의 연금은 물가를 감안해 매년 5%씩 늘어나는 30회 지급 방식입니다.
한국 로또에도 쓸 수 있나요?
한국 로또 6/45는 일시금으로만 지급되므로 해당하지 않습니다.
출처: Powerball official game rules (Multi-State Lottery Association), annuity payment description · Brealey, Myers & Allen, Principles of Corporate Finance (growing annuities, present value)