홍라이프 계산기보 처짐·굽힘 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 곧은 탄성 보의 최대 처짐, 최대 굽힘모멘트, 최대 굽힘응력을 교과서의 대표적인 네 가지 경우에 대해 구합니다. 중앙 집중하중 또는 등분포하중을 받는 단순지지보, 끝단 집중하중 또는 등분포하중을 받는 외팔보입니다. 선반, 인방, 바닥 장선, 철골 보, 기계 프레임을 빠르게 검토할 때 씁니다.
계산 방법
- 처짐: 단순지지·중앙 집중하중 PL³/(48EI), 단순지지·등분포하중 5wL⁴/(384EI), 외팔보·끝단 하중 PL³/(3EI), 외팔보·등분포하중 wL⁴/(8EI)입니다.
- 모멘트: 순서대로 PL/4, wL²/8, PL, wL²/2입니다. 등분포하중은 하중 칸에 kN/m 값을 넣습니다.
- 응력: σ = M ÷ Z이며 M(kN·m)과 Z(cm³)로 MPa를 얻습니다.
- 스팬/처짐: L ÷ δ로, 처짐 한계를 표현하는 일반적인 방식입니다.
E는 GPa, I는 cm⁴로 넣으며 EI는 E × 10⁹ × I × 10⁻⁸로 N·m²가 됩니다.
원리
오일러-베르누이 보 이론에서 곡률은 M/(EI)입니다. 굽힘모멘트가 보를 휘게 하고 휨강성 EI가 이에 저항합니다. 지점 조건(지점에서 처짐 0, 고정단에서 기울기 0)을 넣어 곡률을 스팬을 따라 두 번 적분하면 처짐 공식이 나옵니다. 처짐은 집중하중일 때 스팬의 세제곱, 등분포하중일 때 네제곱에 비례하므로 스팬이 조금만 길어져도 보가 훨씬 유연해집니다.
예제 풀이
- 입력값: 단순지지·중앙 집중하중 P = 10 kN, L = 4 m, E = 200 GPa, I = 2,140 cm⁴, Z = 214 cm³(높이 약 200 mm 강재 I형 단면 수준)입니다.
- EI = 200 × 10⁹ × 2,140 × 10⁻⁸ = 4.28 × 10⁶ N·m²입니다.
- 처짐은 10,000 × 4³ ÷ (48 × 4.28 × 10⁶) ≈ 0.003115 m = 3.115265 mm입니다.
- 최대 모멘트는 10 × 4 ÷ 4 = 10 kN·m입니다.
- 응력은 10 × 10⁶ N·mm ÷ 214,000 mm³ ≈ 46.72897 MPa입니다.
- 스팬/처짐은 4 ÷ 0.003115 ≈ 1,284로, 처짐이 약 L/1,284입니다.
| 경간 (m) | 최대 처짐 (mm) |
|---|---|
| 1 | 0.0486760125 |
| 2 | 0.3894080997 |
| 3 | 1.314252336 |
| 4 | 3.115264798 |
| 5 | 6.084501558 |
| 6 | 10.51401869 |
| 8 | 24.92211838 |
결과 해석
건축 기준은 용도에 따라 처짐을 L/250~L/360 정도로 제한하는 경우가 많으므로 L/1,284는 충분히 강한 편입니다. 응력은 재료의 허용응력이나 설계강도와 비교하며(S235 강재의 항복강도 235 MPa), 기준이 요구하는 안전율을 반영해야 합니다.
흔한 실수
- 등분포하중 칸에 kN/m가 아니라 전체 하중(kN)을 넣습니다.
- 강축으로 휘는 I형 보에 약축 I를 씁니다.
- 보의 자중과 같은 스팬의 다른 하중을 빠뜨립니다.
자주 묻는 질문
두 하중 경우를 합칠 수 있나요?
선형 범위에서는 각각의 처짐과 모멘트를 더하는 중첩의 원리를 쓸 수 있습니다. 단, 최대값의 위치가 같아야 그대로 더할 수 있습니다.
등분포하중에서 5/384는 어디서 나오나요?
포물선 모양의 모멘트 wx(L − x)/2를 양 지점 처짐 0 조건으로 두 번 적분한 결과입니다.
응력과 처짐 중 무엇이 더 중요한가요?
둘 다 만족해야 합니다. 길고 가벼운 보는 주로 처짐이, 짧고 하중이 큰 보는 강도가 설계를 지배합니다.
출처: W. C. Young and R. G. Budynas, Roark's Formulas for Stress and Strain, McGraw-Hill · AISC, Steel Construction Manual, Part 3 (beam diagrams and formulas)