홍라이프 계산기맥놀이 진동수 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
진동수가 조금 다른 두 소리가 함께 울리면, 하나의 음이 규칙적으로 커졌다 작아졌다 하는 것처럼 들립니다. 이 현상을 맥놀이라고 하며, 1초 동안 소리가 커지는 횟수는 두 진동수의 차와 같습니다. 연주자는 맥놀이를 들으며 악기를 귀로 조율하고, 피아노 조율사는 음률을 맞출 때 이를 이용합니다. 신호 혼합이나 진동 분석에서도 같은 현상을 만납니다.
계산 방법
- 맥놀이 진동수: f_맥놀이 = |f₁ − f₂| (Hz, 1초당 맥놀이 횟수)
- 들리는 음의 진동수: f_평균 = (f₁ + f₂) / 2 (Hz)
두 진동수는 Hz로 입력하며 절댓값을 취하므로 순서는 상관없습니다. 소리가 가장 커지는 순간 사이의 시간, 즉 맥놀이 주기는 1 / f_맥놀이 초입니다.
원리
진폭이 같은 두 사인파를 더하고 삼각함수의 합을 곱으로 바꾸는 공식을 쓰면 다음과 같습니다.
sin(2πf₁t) + sin(2πf₂t) = 2 cos(2π · (f₁ − f₂)/2 · t) · sin(2π · (f₁ + f₂)/2 · t)
빠르게 진동하는 사인 항은 평균 진동수로, 우리가 듣는 음높이입니다. 느린 코사인 항은 진폭을 감싸는 포락선입니다. 귀는 포락선의 부호가 아니라 크기에 반응하고, 그 크기는 코사인 한 주기에 두 번 최대가 되므로 소리는 1초에 |f₁ − f₂|번 커집니다. 두 파동이 위상이 맞으면 보강되고 어긋나면 상쇄되는 일이 맥놀이 한 번마다 반복되는 셈입니다.
예제 풀이
- 입력값은 f₁ = 440 Hz(표준음 A4), f₂ = 444 Hz입니다.
- 맥놀이 진동수는 |440 − 444| = 4 Hz로, 1초에 네 번, 0.25초마다 소리가 커집니다.
- 들리는 음은 (440 + 444) / 2 = 442 Hz입니다.
| 진동수 2 (Hz) | 맥놀이 진동수 (Hz) |
|---|---|
| 111 | 329 |
| 222 | 218 |
| 333 | 107 |
| 444 | 4 |
| 555 | 115 |
| 666 | 226 |
| 888 | 448 |
결과 해석
맥놀이가 1 Hz보다 느리면 두 음이 거의 맞았다는 뜻이며, 맥놀이가 사라지면 조율이 끝난 것입니다. 초당 몇 번 정도면 비브라토처럼 떨리는 소리로 들립니다. 차이가 대략 15~20 Hz를 넘으면 맥놀이가 거칠고 탁한 소리로 뭉개지고, 더 벌어지면 두 개의 다른 음으로 구별됩니다. 이 경계는 음역과 듣는 사람에 따라 달라지므로 대략적인 기준으로만 보시기 바랍니다.
흔한 실수
- 포락선 식에 (f₁ − f₂)/2가 있다고 맥놀이 횟수를 차의 절반으로 계산하는 경우입니다. 실제 들리는 횟수는 차 전체입니다.
- 순음끼리만 맥놀이가 생긴다고 생각하는 경우입니다. 악음의 배음끼리도 맥놀이가 생기며, 5도 음정 조율에 이를 이용합니다.
- 큰 소리에서 귀 안에서 생기는 차음(결합음)을 맥놀이와 혼동하는 경우입니다.
자주 묻는 질문
맥놀이로 기타 줄을 어떻게 조율하나요?
기준음과 줄을 함께 울리면서 맥놀이가 느려지도록 줄감개를 돌립니다. 맥놀이가 멈추면 진동수가 같아진 것입니다.
모르는 진동수를 맥놀이로 잴 수 있나요?
네. 아는 기준음과 함께 울려 맥놀이를 세고, 기준음을 조금 바꾸었을 때 맥놀이가 빨라지는지 느려지는지로 높고 낮음을 판단합니다.
빛이나 전파에도 맥놀이가 있나요?
있습니다. 가까운 두 진동수를 섞으면 차이 진동수가 생기며, 슈퍼헤테로다인 수신기가 이 원리를 씁니다.
출처: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentals of Physics, Wiley (chapter on sound waves, beats) · H. von Helmholtz, On the Sensations of Tone (1863; English translation by A. J. Ellis)