홍라이프 계산기베르누이 방정식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
베르누이 방정식은 같은 흐름 위의 두 지점에서 압력, 속도, 높이 사이의 관계를 나타냅니다. 1지점의 압력·속도·높이와 2지점의 속도·높이를 넣으면 2지점의 압력을 구해 줍니다. 관의 굵기가 바뀌거나 높은 곳으로 물을 보낼 때의 압력을 어림하거나, 펌프와 노즐을 검토할 때, 그리고 빠르게 흐르는 유체의 압력이 왜 낮아지는지 이해할 때 씁니다.
계산 방법
p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂를 p₂에 대해 정리합니다.
p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) + ρg(z₁ − z₂)
- p는 정압(kPa로 입력하면 내부에서 Pa로 바꿉니다), v는 평균 유속(m/s), z는 공통 기준면으로부터의 높이(m)입니다.
- ρ는 유체의 밀도(kg/m³, 물은 약 1000)이고, g는 표준 중력가속도 9.80665 m/s²입니다.
- 결과는 다시 kPa로 표시합니다. 게이지압과 절대압 중 하나로 통일해 입력하면 결과도 같은 기준으로 나옵니다.
원리
베르누이 방정식은 흐르는 유체의 에너지 보존 법칙을 단위 부피당으로 쓴 것입니다. ½ρv²은 운동 에너지, ρgz는 위치 에너지, p는 압력이 할 수 있는 일(유동일)에 해당합니다. 펌프가 에너지를 더하거나 마찰로 에너지를 잃지 않는다면 세 항의 합은 유선을 따라 일정합니다. 그래서 유체가 빨라지거나 높이 올라가면 그만큼 압력이 내려갑니다. 정상 흐름, 비압축성, 점성 무시를 전제로 합니다.
예제 풀이
- 입력값: p₁ = 200 kPa, v₁ = 2 m/s, z₁ = 0 m, v₂ = 6 m/s, z₂ = 3 m, ρ = 1000 kg/m³입니다.
- 속도 항: ½ × 1000 × (2² − 6²) = 500 × (−32) = −16,000 Pa입니다.
- 높이 항: 1000 × 9.80665 × (0 − 3) = −29,419.95 Pa입니다.
- p₂ = 200,000 − 16,000 − 29,419.95 = 154,580.05 Pa입니다.
- 결과는 p₂ ≈ 154.58 kPa(화면 표시 154.58005)입니다.
| p₁ (kPa) | p₂ (kPa) |
|---|---|
| 50 | 4.58005 |
| 100 | 54.58005 |
| 150 | 104.58005 |
| 200 | 154.58005 |
| 250 | 204.58005 |
| 300 | 254.58005 |
| 400 | 354.58005 |
결과 해석
약 45.4 kPa의 압력 감소 가운데 16 kPa는 물을 가속하는 데, 29.4 kPa는 3 m 끌어올리는 데 쓰였습니다. 물은 1 m 올라갈 때마다 약 9.8 kPa씩 압력이 줄어든다고 기억하면 편리합니다. 계산된 절대압이 0보다 작거나 액체의 증기압보다 낮게 나오면 실제로는 그 상태에 이르기 전에 공동 현상(캐비테이션)이 생깁니다.
흔한 실수
- 한 지점은 게이지압, 다른 지점은 절대압으로 넣는 경우입니다.
- 속도 대신 관 지름을 넣는 경우입니다. 먼저 연속 방정식(v = Q/A)으로 속도를 구해야 합니다.
- 펌프나 밸브, 긴 배관을 사이에 두고 양정이나 손실을 빼먹는 경우입니다.
- z₁과 z₂를 서로 다른 기준면에서 재는 경우입니다.
자주 묻는 질문
공기에도 베르누이 방정식을 쓸 수 있나요?
밀도 변화가 작은 저속, 대략 마하 0.3(해면에서 약 100 m/s) 이하라면 쓸 수 있습니다. 밀도는 약 1.2 kg/m³을 넣습니다.
수두 형태의 식은 무엇인가요?
모든 항을 ρg로 나누면 p/ρg + v²/2g + z = 일정이 됩니다. 각 항은 압력 수두, 속도 수두, 위치 수두라는 m 단위의 높이가 됩니다.
비행기 날개의 양력도 이 식으로 설명되나요?
날개 주위의 압력과 속도 관계는 맞게 설명하지만, 공기가 왜 빨라지는지까지 설명하려면 흐름 전체를 봐야 합니다.
출처: D. Bernoulli, Hydrodynamica (1738) · F. M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill · B. R. Munson 외, Fundamentals of Fluid Mechanics, Wiley