홍라이프 계산기브래그 법칙·셰러 식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
X선 회절(XRD)은 결정 물질이 X선을 반사하는 각도로 그 물질을 알아내는 방법입니다. 이 계산기는 회절 봉우리 위치 2θ를 브래그 법칙으로 격자면 간격 d로 바꾸고, 봉우리 폭으로 셰러 식을 써서 평균 결정자 크기를 추정합니다. 재료·화학·지질 분야에서 회절 패턴 해석, 상 확인, 나노 입자 성장 관찰에 씁니다.
계산 방법
- 브래그 법칙: n × λ = 2 × d × sin θ, 따라서 d = n × λ / (2 sin θ)
- 셰러 식: τ = K × λ / (β × cos θ)
λ는 X선 파장(Å)으로 기본값 1.5406 Å는 Cu Kα₁입니다. 2θ는 패턴에서 읽은 회절각이며 계산기가 절반으로 나눠 θ를 씁니다. n은 반사 차수로 보통 1입니다. 셰러 식의 β는 봉우리의 반치폭(FWHM)으로, 2θ 기준 도 단위로 넣으면 라디안으로 바뀝니다. 형상 인자 K = 0.9를 쓰며, 크기 τ는 nm로 나타냅니다.
원리
평행한 원자면에서 산란된 X선은 서로 간섭합니다. 이웃한 면에서 반사된 빛은 2d sin θ만큼 더 먼 길을 가는데, 이 거리가 파장의 정수 배이면 보강 간섭이 일어나 강한 봉우리가 생깁니다. 그래서 θ를 재면 d를 알 수 있습니다. 완벽하고 무한히 큰 결정은 아주 날카로운 봉우리를 주지만, 작은 결정에서는 조금 어긋난 각도를 상쇄해 줄 면이 적어 봉우리가 넓어집니다. 셰러는 이 폭이 결정 크기에 반비례함을 보였습니다.
예제 풀이
- 입력값: λ = 1.5406 Å, 2θ = 38.2°, n = 1, FWHM = 0.3°입니다.
- θ = 19.1°, sin θ = 0.32722, cos θ = 0.94495입니다.
- d = 1.5406 ÷ (2 × 0.32722) = 2.3541 Å로 금의 (111) 면 간격에 가깝습니다.
- β = 0.3 × π/180 = 0.0052360 rad입니다.
- τ = 0.9 × 0.15406 nm ÷ (0.0052360 × 0.94495) = 28.02 nm입니다.
| 2θ (°) | 면간 거리 d (Å) |
|---|---|
| 9.55 | 9.253627229 |
| 19.1 | 4.642927937 |
| 28.6 | 3.113306885 |
| 38.2 | 2.354088827 |
| 47.8 | 1.903184749 |
| 57.3 | 1.606606261 |
| 76.4 | 1.245616984 |
결과 해석
d 값은 표준 데이터베이스와 비교해 상을 판별합니다. 봉우리가 낮은 2θ 쪽으로 옮겨 가면 d가 커졌다는 뜻으로, 격자 팽창 등을 시사합니다. 셰러 식에서는 봉우리가 좁을수록 결정자가 크며, 대략 100~200 nm까지 유용합니다. 그보다 크면 폭 넓어짐이 너무 작아 장비 효과와 구분하기 어렵습니다.
흔한 실수
- 2θ 대신 θ를 넣거나 그 반대로 넣는 경우입니다.
- 장비 자체의 폭 넓어짐을 표준 시료로 보정하지 않는 경우입니다.
- Co나 Mo 양극으로 얻은 데이터에 Cu Kα 파장을 쓰는 경우입니다.
자주 묻는 질문
K 값은 무엇을 써야 하나요?
보통 0.9를 쓰지만 결정자 모양과 폭의 정의에 따라 달라지며, FWHM 기준으로 약 0.89~0.94가 흔합니다.
Cu Kα가 1.5406 Å인 이유는 무엇인가요?
구리의 Kα₁ 방출선 파장이기 때문입니다. 약 1.5444 Å의 Kα₂는 데이터에서 흔히 제거합니다.
결정자 크기와 현미경으로 본 입자 크기는 같은가요?
반드시 같지는 않습니다. 입자 하나에 결정자가 여럿 있을 수 있어 XRD 값이 더 작게 나오는 경우가 많습니다.
출처: W. H. Bragg and W. L. Bragg, Proceedings of the Royal Society A 88, 428 (1913) · B. D. Cullity and S. R. Stock, Elements of X-Ray Diffraction, Pearson