홍라이프 계산기모세관 상승 계산기(쥐랭의 법칙) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
모세관 현상은 가는 관 속 액체가 표면장력의 힘으로 중력을 거슬러 올라가는 현상입니다. 쥐랭의 법칙은 관의 반지름, 액체의 표면장력, 액체와 벽면의 접촉각, 액체 밀도로 평형 높이를 알려 줍니다. 흙이나 종이, 식물 조직을 따라 물이 오르는 현상, 벽체의 습기 상승, 흡습 섬유를 설명하고 실험실에서 표면장력을 측정할 때도 씁니다.
계산 방법
h = 2γ cos θ ÷ (ρ g r)
- γ: 표면장력(N/m)이며, 20 °C 물은 약 0.0728 N/m입니다.
- θ: 접촉각(°)이며, 0°는 액체가 벽을 완전히 적신다는 뜻입니다.
- ρ: 액체 밀도(kg/m³), g = 9.80665 m/s²입니다.
- r: 관 반지름으로, mm를 m로 바꾸어 계산하고 높이는 mm로 표시합니다.
원리
액체 표면이 벽과 만나는 곳에서 표면장력은 접촉선 1 m당 γ의 힘으로 메니스커스 가장자리를 끌어당깁니다. 둘레가 2πr인 관에서 위쪽 성분은 2πrγ cos θ입니다. 이 힘이 끌어올린 액체 기둥의 무게 ρgπr²h와 같아지면 상승이 멈춥니다. 이를 풀면 h = 2γ cos θ ÷ (ρgr)이 되며, 1718년 제임스 쥐랭이 발표했습니다. 휘어진 메니스커스 아래의 라플라스 압력으로도 같은 결과를 얻습니다. θ가 90°보다 크면 cos θ가 음수가 되어 유리관 속 수은처럼 오히려 내려갑니다.
예제 풀이
- 입력값: r = 0.5 mm = 0.0005 m, γ = 0.0728 N/m, θ = 0°, ρ = 998 kg/m³입니다.
- 분자: 2 × 0.0728 × cos 0° = 0.1456 N/m입니다.
- 분모: 998 × 9.80665 × 0.0005 = 4.8935입니다.
- h = 0.1456 ÷ 4.8935 = 0.029754 m = 29.75 mm(화면 29.75364341)입니다.
| 관 반지름 (mm) | 높이 (mm) |
|---|---|
| 0.125 | 119.0145736 |
| 0.25 | 59.50728682 |
| 0.375 | 39.67152454 |
| 0.5 | 29.75364341 |
| 0.625 | 23.80291473 |
| 0.75 | 19.83576227 |
| 1 | 14.8768217 |
결과 해석
높이는 반지름에 반비례합니다. 관이 10배 가늘어진 0.05 mm라면 물은 약 298 mm까지 오릅니다. 점토나 실트처럼 입자가 고운 흙이 모래보다 물을 훨씬 높이 끌어올리는 이유입니다. 이 법칙은 반지름이 모세관 길이 √(γ/ρg)보다 충분히 작을 때 잘 맞습니다. 물의 모세관 길이는 약 2.7 mm이며, 이보다 굵은 관에서는 메니스커스가 평평해져 식이 높이를 과대평가합니다.
흔한 실수
- 반지름 대신 지름을 넣어 결과가 절반으로 나오는 경우입니다.
- 더럽거나 코팅된 유리에도 θ = 0°를 쓰는 경우입니다. 오염되면 θ가 커지고 높이가 줄어듭니다.
- 온도를 무시하는 경우입니다. 물이 따뜻해지면 표면장력이 작아져 상승 높이도 낮아집니다.
자주 묻는 질문
유리관 속 수은은 왜 내려가나요?
수은은 유리를 적시지 않아 접촉각이 90°보다 훨씬 크므로 cos θ가 음수가 되어 수면이 내려갑니다.
관의 길이도 상승 높이에 영향을 주나요?
관이 h보다 높기만 하면 반지름과 액체의 성질에만 좌우됩니다. 관이 더 짧아도 넘쳐흐르지 않고 끝에서 메니스커스가 평평해질 뿐입니다.
두 평판 사이에서도 성립하나요?
네. 간격이 w이면 h = 2γ cos θ ÷ (ρgw)로, 지름 w인 관의 절반 높이입니다.
출처: J. Jurin, Philosophical Transactions of the Royal Society 30 (1718) 739–747 · P.-G. de Gennes, F. Brochard-Wyart, D. Quéré, Capillarity and Wetting Phenomena, Springer, 2004