홍라이프 계산기질량중심 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
질량중심은 계의 질량이 평균적으로 놓인 위치입니다. 이 계산기는 1차원, 2차원, 3차원의 점질량 묶음에 대해 질량중심을 구하고, 총질량과 원점에서 중심까지의 거리도 보여 줍니다.
계산 방법
- x̄ = Σmᵢxᵢ ÷ M, ȳ = Σmᵢyᵢ ÷ M, z̄ = Σmᵢzᵢ ÷ M
- 총질량 M = Σmᵢ
- 각 좌표는 따로 계산하며, 쓰지 않는 좌표는 0입니다.
- 원점에서의 거리 = √(x̄² + ȳ² + z̄²)
원리
질량중심은 가중평균입니다. 무거운 질량일수록 중심을 자기 쪽으로 끌어당깁니다. 균일한 중력에서는 무게중심, 즉 전체 무게가 한 점에 작용한다고 볼 수 있는 점과 같아서, 그 점을 받치면 물체가 균형을 이룹니다. 크기가 있는 물체는 단순한 부분으로 나누어 각 부분의 중심과 질량을 구한 뒤 점질량처럼 합치면 됩니다.
예제 풀이
기본값(x, y, z는 m, 질량은 kg): (0, 0, 0) 2 kg, (4, 0, 0) 1 kg, (0, 3, 0) 1 kg, (0, 0, 2) 4 kg
- 총질량 M = 2 + 1 + 1 + 4 = 8 kg, 질량 4개
- x̄ = (1 × 4) ÷ 8 = 0.5 m
- ȳ = (1 × 3) ÷ 8 = 0.375 m
- z̄ = (4 × 2) ÷ 8 = 1 m, 중심 = (0.5, 0.375, 1)
- 원점에서의 거리 = √(0.25 + 0.1406 + 1) ≈ 1.17925 m
결과 해석
중심은 가장 무거운 질량, 여기서는 z = 2 m의 4 kg 쪽에 가깝습니다. 중심이 어떤 질량 위에 있을 필요도, 심지어 물체 안에 있을 필요도 없습니다(고리를 생각해 보십시오). 기술자는 안정성, 인양 지점, 균형을 확인할 때 질량중심을 씁니다.
흔한 실수
- 총질량으로 나누는 것을 잊는 경우
- 좌표마다 단위를 섞는 경우
- 밀도가 고르지 않은 물체에 기하학적 중심을 쓰는 경우
- 부분의 중심 대신 모서리 위치를 넣는 경우
자주 묻는 질문
질량중심은 어떻게 구하나요?
좌표마다 각 질량에 위치를 곱해 더한 뒤 총질량으로 나눕니다.
질량중심과 무게중심은 같은가요?
균일한 중력장에서는 같습니다.
질량중심이 물체 밖에 있을 수 있나요?
고리, 말굽, 굽은 막대 같은 모양에서는 밖에 있을 수 있습니다.
2차원 문제는 어떻게 넣나요?
한 줄에 x, y, m 세 값을 넣으면 z는 0으로 처리됩니다.
사람의 무게중심은 어디에 있나요?
똑바로 선 성인은 대략 배꼽 아래 골반 근처에 있지만, 팔다리를 움직이면 위치가 바뀝니다. 높이뛰기 선수가 몸을 휘어 넘는 것도 이 원리를 이용합니다.
막대처럼 크기가 있는 물체는 어떻게 넣나요?
균일한 막대는 가운데 한 점에 전체 질량이 있다고 보고 넣으면 됩니다.
출처: Halliday, Resnick & Walker, Fundamentals of Physics (centre of mass) · OpenStax, University Physics Volume 1, Section 9.6 Center of Mass