홍라이프 계산기입방 단위 세포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
많은 금속은 단순 입방, 체심 입방(BCC), 면심 입방(FCC) 격자로 결정을 이룹니다. 이 계산기는 모서리 길이와 원자 반지름을 서로 바꾸고, 단위 세포당 원자 수, 배위수, 충전율, 밀도를 계산합니다.
계산 방법
- 단순 입방: a = 2r, BCC: a = 4r ÷ √3, FCC: a = 2√2 r
- 단위 세포당 원자 수 Z: 1(단순), 2(BCC), 4(FCC), 배위수 6, 8, 12, 충전율 약 52%, 68%, 74%
- 밀도 = Z × M ÷ (NA × a³), a는 cm(1 pm = 10⁻¹⁰ cm), NA = 6.02214076 × 10²³ mol⁻¹
- 단위 세포 부피(ų) = (pm 단위 a ÷ 100)³
원리
원자를 단단한 구로 보고, 특정 방향으로 서로 맞닿는다고 생각합니다. 단순 입방은 모서리, BCC는 몸체 대각선, FCC는 면 대각선 방향으로 닿습니다. 이것이 a와 r의 관계를 정합니다. 공유된 위치를 세면(꼭짓점 원자는 세포마다 ⅛, 면 원자는 ½) 세포당 원자 수가 나옵니다. 질량을 아는 원자가 알려진 부피에 몇 개 들어가는지 알면 밀도가 나오며, 이는 금속이 어떤 격자인지 빠르게 확인하는 방법입니다.
예제 풀이
기본값: FCC, 모서리 352.4 pm, 몰질량 58.693 g/mol(니켈)
- r = 352.4 ÷ (2√2) ≈ 124.59 pm
- 세포당 원자 4개, 배위수 12, 충전율 74%
- 세포 부피 = (3.524 Å)³ ≈ 43.763 ų = 4.3763 × 10⁻²³ cm³
- 밀도 = 4 × 58.693 ÷ (6.02214 × 10²³ × 4.3763 × 10⁻²³) ≈ 8.908 g/cm³
- cm³당 원자 수 = 4 ÷ 4.3763 × 10⁻²³ ≈ 9.14 × 10²²
| 길이 (pm) | 밀도 (g/cm³) |
|---|---|
| 88.1 | 570.122 |
| 176 | 71.265 |
| 264 | 21.116 |
| 352 | 8.908 |
| 440 | 4.561 |
| 529 | 2.639 |
| 705 | 1.114 |
결과 해석
계산한 8.908 g/cm³는 니켈의 실측 밀도와 거의 같아 FCC 구조임을 확인해 줍니다. 계산 밀도가 실측값과 크게 다르면 가정한 격자나 모서리 길이가 틀렸을 가능성이 큽니다. 같은 크기의 구에서 FCC와 육방 최밀 충전은 가장 높은 충전율 74%를 공유합니다.
흔한 실수
- 격자에 맞지 않는 접촉 방향을 쓰는 경우
- 세제곱하기 전에 pm을 cm로 바꾸지 않는 경우
- BCC나 FCC에 Z = 1을 쓰는 경우
- 원자 반지름을 고정된 값으로 여기는 경우(결합과 배위에 따라 다름)
자주 묻는 질문
FCC 단위 세포에는 원자가 몇 개인가요?
4개입니다: 꼭짓점 8 × ⅛ + 면 6 × ½
BCC의 충전율은?
약 68%입니다.
단위 세포로 밀도를 어떻게 구하나요?
밀도 = 세포당 원자 수 × 몰질량 ÷ (아보가드로수 × 세포 부피)입니다.
철은 어떤 구조인가요?
상온의 철(α-철)은 BCC이며, 약 912 °C 이상에서는 FCC(γ-철)로 바뀝니다.
출처: Callister, W. D. & Rethwisch, D. G., Materials Science and Engineering: An Introduction (crystal structures) · Kittel, C., Introduction to Solid State Physics, 8th ed. Wiley