CUSUM·EWMA 관리도 계산기

CUSUM·EWMA 관리도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

지수가중이동평균(EWMA) 관리도와 누적합(CUSUM) 관리도는 공정 평균에 생긴 작지만 지속적인 변화를 잡아내는 통계적 공정 관리 도구로, 일반 슈하트 관리도로는 늦게 발견되는 작은 이동을 빨리 감지합니다. 이 계산기는 입력한 관측값으로 두 관리도를 계산해 이탈 신호를 알려 줍니다.

계산 방법

• EWMA 통계량: zᵢ = λxᵢ + (1 − λ)zᵢ₋₁, 시작값 z₀ = μ₀(목표 평균)
• 점근 관리 한계: μ₀ ± L σ √(λ / (2 − λ))
• 판정: |z_마지막 − μ₀|가 L σ √(λ / (2 − λ))보다 크면 관리 이탈입니다.
• 표 형식 CUSUM: C⁺ᵢ = max(0, xᵢ − (μ₀ + k) + C⁺ᵢ₋₁), C⁻ᵢ = max(0, (μ₀ − k) − xᵢ + C⁻ᵢ₋₁)이며 k = 0.5σ, 어느 한쪽이 h = 5σ를 넘으면 신호입니다.

λ(0~1)는 최신 관측값에 주는 가중치, σ는 개별 관측값의 알려진 공정 표준편차, L은 한계 폭을 표준편차 단위로 정하는 값입니다.

원리

점화식을 풀어 쓰면 zᵢ는 과거 모든 자료의 가중평균이며, 가중치는 λ, λ(1 − λ), λ(1 − λ)², …로 기하급수적으로 줄어듭니다. 오래된 값은 희미해지지만 사라지지 않아, 작은 이동이 계속되면 z에 차곡차곡 쌓이고 우연 변동은 평균되어 상쇄됩니다. zᵢ의 분산은 σ² (λ/(2 − λ)) [1 − (1 − λ)²ⁱ]이고 몇 점만 지나면 σ² λ/(2 − λ)로 수렴하는데, 한계 폭이 여기서 나옵니다.

예제 풀이

1. 입력값: x = 10.1, 10.0, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, μ₀ = 10, σ = 0.2, λ = 0.2, L = 3입니다.
2. z₁ = 0.2 × 10.1 + 0.8 × 10 = 10.02, z₂ = 10.016, z₃ = 10.0528, z₄ = 10.10224, z₅ = 10.161792입니다.
3. z₆ = 0.2 × 10.5 + 0.8 × 10.161792 = 10.2294336입니다.
4. 한계 반폭: 3 × 0.2 × √(0.2 / 1.8) = 0.2이므로 관리 한계는 9.8 – 10.2입니다.
5. 10.2294가 10.2보다 크므로 관리 이탈(out of control)입니다.
6. CUSUM(k = 0.1, h = 1.0): C⁺ = 0, 0, 0.1, 0.3, 0.6, 1, C⁻는 계속 0이며, 여섯 번째 점에서 C⁺가 h에 이르러 signal at obs. 6이 나옵니다.

어떤 관측값도 목표에서 2.5σ를 넘지 않았지만, 두 관리도 모두 꾸준한 상승 추세를 여섯 번째 점에서 잡아냈습니다.

결과 해석

'관리 상태'는 마지막 EWMA가 한계 안에 있다는 뜻일 뿐, 공정이 목표에 정확히 맞는다는 뜻은 아닙니다. 신호가 나오면 EWMA가 조금 늦게 반응하므로 몇 점 앞에서 시작된 이상 원인을 찾습니다. 흔히 λ는 0.05~0.25, L은 3 안팎을 씁니다.

흔한 실수

• 이미 이동이 섞인 자료로 σ를 추정해 한계가 넓어지고 문제가 가려지는 경우.
• 개별값을 넣으면서 부분군 평균의 σ를 쓰거나 그 반대로 쓰는 경우.

자주 묻는 질문

λ는 어떻게 정하나요?

작은 이동을 잡으려면 λ를 작게 합니다. Lucas와 Saccucci의 평균 런 길이(ARL) 표를 보면 원하는 이동 크기와 오경보율에 맞는 λ와 L을 고를 수 있습니다.

출처: S. W. Roberts (1959), Control chart tests based on geometric moving averages, Technometrics 1(3) · J. M. Lucas and M. S. Saccucci (1990), Exponentially weighted moving average control schemes: properties and enhancements, Technometrics 32(1)