홍라이프 계산기사이클로트론 진동수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
자기장을 가로질러 움직이는 전하 입자는 속도와 상관없는 진동수로 원운동을 합니다. 이 계산기는 그 사이클로트론 진동수와 주기를 구하고, 운동에너지를 넣으면 입자의 속도와 궤도 반지름도 계산합니다.
계산 방법
- 자기력 qvB가 구심력 mv² ÷ r 역할을 합니다.
- 반지름 r = mv ÷ (|q|B)
- 주기 T = 2πm ÷ (|q|B), 사이클로트론 진동수 f = |q|B ÷ (2πm), 각진동수 ω = |q|B ÷ m
- 운동에너지에서 속도: v = √(2K ÷ m)(비상대론)
- 상수: e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C, mp = 1.67262192595 × 10⁻²⁷ kg(CODATA 2022)
원리
빠른 입자는 더 큰 원을 돌지만 반지름이 속도에 비례해 커지므로 한 바퀴 도는 시간은 똑같습니다. 이 속도 무관성 덕분에 어니스트 로런스의 사이클로트론이 가능했습니다. 일정한 사이클로트론 진동수의 교류 전압이 반 바퀴마다 입자를 밀어 주면, 입자는 에너지를 얻으며 나선형으로 바깥으로 돕니다. 광속의 몇 %를 넘으면 상대론적 질량 증가로 진동수가 낮아지며, 싱크로사이클로트론과 등시성 사이클로트론이 이를 보정합니다.
예제 풀이
기본값: 양성자, B = 1.5 T, 운동에너지 10 keV
- f = 1.602 × 10⁻¹⁹ × 1.5 ÷ (2π × 1.6726 × 10⁻²⁷) ≈ 22.8678 MHz
- ω = 2πf ≈ 1.437 × 10⁸ rad/s, 주기 ≈ 43.73 ns
- 속도 = √(2 × 10,000 × 1.602 × 10⁻¹⁹ ÷ 1.6726 × 10⁻²⁷) ≈ 1.384 × 10⁶ m/s(광속의 0.4617%)
- 반지름 = 1.6726 × 10⁻²⁷ × 1.384 × 10⁶ ÷ (1.602 × 10⁻¹⁹ × 1.5) ≈ 9.633 mm
| 자속 밀도 B (T) | 사이클로트론 주파수 (MHz) |
|---|---|
| 0.375 | 5.71694 |
| 0.75 | 11.4339 |
| 1.12 | 17.1508 |
| 1.5 | 22.8678 |
| 1.88 | 28.5847 |
| 2.25 | 34.3017 |
| 3 | 45.7356 |
결과 해석
진동수는 그 입자와 자기장에서 사이클로트론이 써야 할 고주파 주파수를 알려 줍니다. 같은 원리가 질량 분석기(가벼운 이온이 더 빨리 돎), 플라스마 자기 가둠, 지구 자기장 속 전하 입자의 나선 운동의 바탕이 됩니다. 같은 자기장에서 전자의 진동수는 양성자보다 약 1,836배 높습니다.
흔한 실수
- 양성자에 전자 질량을 쓰거나 그 반대인 경우
- 알파 입자(q = 2e) 같은 이온의 전하 배수를 잊는 경우
- 높은 에너지에서 비상대론 식을 쓰는 경우
- f와 ω를 혼동하는 경우(2π 차이)
자주 묻는 질문
1 T에서 양성자의 사이클로트론 진동수는?
약 15.2 MHz이며, 자기장 세기에 비례합니다.
진동수가 속도와 무관한 이유는?
반지름이 속도에 비례해 커지므로 한 바퀴 시간이 그대로이기 때문입니다.
전자의 사이클로트론 진동수는?
테슬라당 약 28 GHz이며, 플라스마의 전자 사이클로트론 공명 가열에 쓰입니다.
병원의 사이클로트론은 무엇에 쓰나요?
PET 검사용 방사성 의약품(예: 불소-18)을 만드는 데 쓰이며, 양성자를 가속해 표적에 충돌시킵니다.
출처: Lawrence, E. O. & Livingston, M. S. (1932). The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages. Physical Review, 40, 19. · CODATA 2022 recommended values of the fundamental physical constants, NIST