감쇠 진동자·공진 계산기

감쇠 진동·공진 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

용수철에 매단 물체에 감쇠기(쇼크 업소버, 마찰, 공기 저항)가 붙은 계는 자동차, 건물, 기계, 센서, 스피커의 진동을 다루는 가장 기본적인 모형입니다. 이 계산기는 질량, 강성, 감쇠 계수를 넣으면 고유 진동수, 감쇠비, 감쇠 진동수, Q 인자와 응답의 종류를 알려 줍니다.

계산 방법

• 고유 진동수: ωₙ = √(k ÷ m)(rad/s)이고, 화면에는 fₙ = ωₙ ÷ 2π(Hz)로 나타납니다. m은 질량(kg), k는 강성(N/m)입니다.
• 감쇠비: ζ = c ÷ (2√(km))입니다. c는 감쇠 계수(N·s/m)이고, 2√(km)는 임계 감쇠 계수입니다.
• 감쇠 진동수: f_d = fₙ√(1 − ζ²)이며 ζ < 1일 때만 정의됩니다.
• Q 인자: Q = 1 ÷ (2ζ)입니다.
• 종류: ζ < 1이면 부족 감쇠, ζ = 1이면 임계 감쇠, ζ > 1이면 과감쇠입니다.

원리

운동 방정식은 m x'' + c x' + k x = 0으로, 관성, 속도에 비례하는 감쇠력, 변위에 비례하는 탄성력이 균형을 이룹니다. 해는 e^(−ζωₙt)의 비율로 줄어듭니다. ζ < 1이면 고유 진동수보다 조금 느리게 진동하면서 진폭이 점점 작아지고, ζ = 1이면 넘치지 않고 가장 빨리 제자리로 돌아오며, ζ > 1이면 진동 없이 천천히 돌아옵니다.

Q는 주기적인 힘으로 흔들 때 공진이 얼마나 날카로운지를 나타냅니다. 감쇠가 작으면 공진 때의 진폭이 정적 변위의 약 Q배가 됩니다.

예제 풀이

1. 입력값: m = 1 kg, k = 100 N/m, c = 2 N·s/m입니다.
2. ωₙ = √(100 ÷ 1) = 10 rad/s이므로 fₙ = 10 ÷ 2π ≈ 1.591549431 Hz입니다.
3. 임계 감쇠 계수는 2√(100 × 1) = 20 N·s/m이므로 ζ = 2 ÷ 20 = 0.1입니다.
4. f_d = 1.591549431 × √(1 − 0.01) ≈ 1.583571689 Hz입니다.
5. Q = 1 ÷ (2 × 0.1) = 5이고, ζ < 1이므로 부족 감쇠(underdamped)입니다.

결과 해석

ζ = 0.1이면 한 주기마다 진폭이 직전의 약 53%로 줄고(대수 감쇠율 약 0.63), 진폭이 줄어드는 시간 상수는 1 ÷ (ζωₙ) = 1초입니다. 자동차 서스펜션은 승차감을 위해 임계 감쇠보다 상당히 낮게 맞추고, 계측기 바늘이나 도어 클로저는 ζ ≈ 0.6~1 부근을 노리는 경우가 많습니다. 강구조물은 감쇠비가 몇 % 수준이어서 Q가 크고 공진이 강하므로, 고유 진동수 근처로 가진하지 않도록 해야 합니다.

흔한 실수

• 질량(kg) 대신 무게(N)를 넣는 경우
• ωₙ(rad/s)와 fₙ(Hz)를 혼동하는 경우(2π배 차이)
• 감쇠가 큰 계에서 Q = 1 ÷ (2ζ)를 그대로 해석하는 경우

자주 묻는 질문

감쇠 진동수가 고유 진동수보다 낮은 이유는 무엇인가요?

감쇠가 움직임을 조금씩 늦추기 때문입니다. ζ = 0.1이면 차이는 0.5%에 불과합니다.

강제 진동의 진폭은 어느 진동수에서 가장 큰가요?

변위 진폭은 fₙ√(1 − 2ζ²)에서 최대가 되며, ζ < 1/√2일 때만 봉우리가 생깁니다.

측정값으로 감쇠비를 구할 수 있나요?

한 주기 간격의 두 봉우리 x₁, x₂로 δ = ln(x₁ ÷ x₂)를 구하고 ζ = δ ÷ √(4π² + δ²)로 계산합니다.

출처: S. S. Rao, Mechanical Vibrations, Pearson · Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics, 진동 단원